Основы физики, продемонстрированные с помощью удавов и попугаев

Основные понятия физики

Физика – это наука, которая описывает окружающий мир и всё, что в нём происходит.

Представьте себе, что вы поставили на плиту чайник, налили в него воды и зажгли огонь. Теперь чайник можно рассматривать как физическую систему, в которую входит два физических тела: корпус чайника и налитая в него вода. Тело – это любой предмет, с которым что-то происходит. Например, в случае чайника его нагревают. А ещё его можно намагнитить, смять, бросить, заморозить – все эти процессы называются физическими явлениями, потому что они изменяют состояние тела.

Можем ли мы включить в систему огонь плиты? И да, и нет. Всё зависит от того, что мы хотим узнать и какие данные у нас есть. Огонь можно исключить из системы «вода в чайнике» - тогда у нас останется лишь приток энергии извне, который нужно будет учесть. Если же включить огонь в систему, то придётся учитывать уже поток поступающего газа.

Любая система является физической моделью. Модель – это упрощённое представление о чём-то. Ведь на самом деле происходящие с чайником процессы гораздо сложнее, чем простое нагревание. Чайник разогревается неравномерно, часть тепла улетает в окружающий воздух, а если вы возьметесь за ручку – то и в ваше тело, и так далее. Но если мы хотим просто узнать, скоро ли вскипит вода, все эти данные нам просто не нужны. Они слишком слабо влияют на результат.

Модели используют, чтобы получить возможность предсказывать явление. Например, момент времени, когда закипит чайник.

Знание особенностей поведения разных физических систем может сильно облегчить вашу жизнь. Если вы разлили воду, а скоро придёт мама, что нужно сделать? Разумеется, растереть эту воду по полу: испарение жидкости происходит по всей её площади. Увеличив площадь, вы увеличите скорость испарения, а значит, следы вашего свинства успеют улетучиться прежде, чем их заметят.

Для этого и нужно в быту знание физики.

Если вы просто разлили воду, вам не обязательно знать точно, с какой скоростью испаряется вода, как это зависит от температуры и прочих вещей. Вам достаточно просто ускорить процесс и надеяться, что пронесёт. Но если мы говорим о проектировании автомобиля, о расчётах для правильной работы электростанции, о полёте на самолёте, там никак не обойтись без точных чисел. Значение, которое определяет суть того или иного явления, называется физической величиной.

Ваш рост – это физическая величина. Вес – тоже. Скорость, с который вы бежите из школы – это физическая величина. Температура вашего тела, напряжение в розетках, куда вам запрещают совать пальцы – всё это физические величины.

Почти у любой величины есть размерность – это то, в чём она измеряется. Например, ваш рост измеряется в метрах или сантиметрах, вес – в килограммах, температура – в градусах Цельсия или Кельвина. Размер величины сравнивают с размером стандартной условной единицы, и количество таких единиц – это и есть нужное нам значение. Складывать между собой и вычитать можно только подобные величины.

Например, вот Вася ростом 175 сантиметров, а рядом с ним – Коля, ростом 185 сантиметров. Как узнать, смогут ли они дотянуться до окна Пети, подоконник которого находится на высоте 4 метра?

Разумеется, нужно сложить Васю и Колю, а потом вычесть полученную сумму из высоты окна. Все эти числа означают одну и ту же величину для разных тел – длину, а значит, они подобны.

Но если вы просто попробуете сложить 175 и 185, а потом вычесть это из 4, то потерпите неудачу. Причина – в том, что первые два числа измеряются в сантиметрах, а второе – в метрах. И прежде чем издеваться над ними с помощью арифметики, следует привести их к стандартной размерности.

В случае длины согласно системе СИ это метры.

В метре 100 сантиметров, значит, нужно разделить рост Васи и рост Коли на 100 – и мы получим тот же самый рост, но уже в метрах. И тогда:

1,75 + 1,85 = 3,6 м

4 – 3,6 = 0,4 м

«м» означает, что это не просто число, а количество метров. Как видим, дотянуться до окна наши герои вряд ли смогут. Придётся им вызывать Петю, кидая в окно каштаны.

Итог:

Тело – это предмет, с которым что-то происходит.

Явление – это то, что происходит с телом.

Система – это то, что определяет взаимодействие тел.

Физическая величина – это количественная характеристика объекта или явления.

Размерность – это то, в чём измеряется физическая величина.

Модель – это упрощённое представление о системе, входящих в неё телах и происходящих с ними явлениях. Для построения модели используются физические величины.

Подлость и коварство размерностей

Математика составляет основу физики, так же как и многих других наук. Поэтому от её аппарата никуда не деться: чтобы научиться решать физические задачи, сначала надо разобраться в арифметике, алгебре, и геометрии.

Но в то же время голого знания математики недостаточно. Особенность вычислений физики – в размерности физических величин, из-за чего вы вполне можете правильно посчитать цифры, но получить неверный ответ. Как в задачке про Васю, Петю и окно.

Любое измерение подразумевает сравнение измеряемого объекта с эталоном – например, метром, сантиметром, дюймом или попугаем. Если по всей длине удава помещаются 38 попугаев, значит, его длина – 38 попугаев. Сам удав тоже годится в качестве меры длины более высокого порядка: если проводить аналогии, то попугай - это наш личный сантиметр, а удав - метр. Любую длину мы можем выразить как в удавах, так и в попугаях - в зависимости от того, как удобней. Например, в технике большинство длин измеряются в миллиметрах - слишком уж они маленькие. А у астрономов в ходу такие единицы, как световой год, равный 9 460 730 472 580 800 метрам. Обычные размерности для них слишком малы.

Вы уже знаете, что складывать и вычитать можно только подобные величины. А как насчёт умножения и деления? Здесь нам на помощь придёт геометрия.

Один метр – это отрезок. У него нет ни ширины, ни высоты – только длина, равная одному метру. Если вы умножите этот отрезок на 2 (просто два), а я коряво нарисую результат в виде удавов, то это будет выглядеть так:

То есть вы сложили два отрезка вместе, и получили, соответственно, отрезок длиной два метра. А если вы умножите 1 метр на 1 метр, то это будет выглядеть уже так:

Второй метр дополняет первый, указывая, что у нашего отрезка появилась ширина, и теперь он – квадратный метр. Длину удава мы измеряли, сравнивая её с длиной попугая - отрезком. Если же мы хотим измерить площадь, то и сравнивать её нужно с эталоном аналогичной размерности - квадратиком. А так как условная единица длины у нас - метр, то и квадратик тоже имеет сторону в один метр.

Почему не стоит измерять её в квадратных удавах? Потому, что вам придётся объяснять соседу, каких именно удавов вы используете в качестве эталона. Метр же – он и в Африке метр, причём буквально. Он везде одинаков. У вас линейка размечена в метрах, сантиметрах и миллиметрах, и у соседа тоже. Поэтому вам достаточно сказать число и размерность - и он сможет без лишних вопросов понять, что вы имели в виду.

Когда-то в каждой стране были свои размерности для длины, массы, объёма и других величин. Причём, чтобы запутать историков, один и тот же фут мог быть равен любому значению от 27 до 33 сантиметров. Ваш рост, измеренный в Париже, оказывался совсем другим в Амстердаме, хотя на самом-то деле он оставался одним и тем же. Это, конечно, вносило огромную путаницу, так что в какой-то момент учёным надоело бодаться со всем этим и они придумали стандарт – точную длину фута, которой должны пользоваться все. А потом, с развитием десятичной системы, и вовсе придумали новые размерности – метры и сантиметры.

Измерять расстояния стало очень удобно, так что учёные подумали и сделали то же самое для остальных величин, выкинув все устаревшие. Некоторыми из них пользуются и по сей день, но современная система является общепринятой, и вся серьёзная наука опирается на неё.

Мы посмотрели на умножение размерностей. А что будет, если их делить?

Если десять метров вы разделите на два – будет пять метров, потому что вы разделили отрезок пополам.

Если же десять метров вы разделите на два метра, будет просто пять. Без размерности. Что означает это число? Оно означает то, во сколько раз десятиметровый отрезок длиннее двухметрового.

При умножении мы можем получить физические величины. Если квадратный метр снова умножить на метр, то у нашей размерности появится высота, мы получим уже кубический метр:

Как и в предыдущих случаях, он является условной единицей, на этот раз для измерения объёма. Мы измеряем объём, считая, сколько кубиков со стороной в один метр поместится в объекте. Например, в комнате.

Что будет, если мы умножим кубический метр ещё на метр? Получится метр в четвёртой степени. Но я уже не смогу нарисовать четырёхмерного удава, потому что мы живём в трёхмерном мире. Такая величина может встретиться в физике, например, при расчётах на прочность, но измерить ею напрямую ничего уже нельзя.

Точно так же существуют секунды в квадрате, килограммы в квадрате и другие величины. Всё зависит лишь от того, какие преобразования вам придётся сделать с физическим уравнением, чтобы найти требуемый ответ. Просто квадратные и кубические метры можно увидеть и применить в реальной жизни, а остальные - всего лишь абстракции.

Итог. Значения складываются, умножаются, вычитаются и делятся по правилам математики. Размерности подчиняются другим правилам, и общая табличка их преобразований выглядит так:

1 м + 2 = (ничего не будет)

1 м + 2 м = 3 м

3 м – 2 м = 1 м

1 м * 5 = 5 м

1 м * 5 м = 5 м^2

1 попугай * 2 попугая = 2 попугай^2 (попугай в квадрате)

1 м * 2 м * 3 м = (1*2*3)*м^3 = 6 м^3

10 м / 2 = 5 м

10 м / 2 м = 5

Задачи

1. Один удав имеет в длину 5 попугаев. Сколько кубических попугаев содержится в одном кубическом удаве?

2. Один попугай имеет в длину 8 сантиметров. Сколько кубических сантиметров содержится в одном кубическом удаве?

3. Комната имеет 4 метра в длину, 2 метра в ширину и 2 метра в высоту. После того, как соседи сверху устроили вечеринку и пробили пол, к этой высоте прибавилось ещё 4 метра двух следующих этажей. Определите, на сколько увеличился жилой объём счастливых жильцов снизу.

Масса, плотность, молекулы и чем они ужасны

Чем тяжелее книга, тем большую шишку она оставит, если кинуть её кому-нибудь в голову.

Тяжесть книги и наносимых ею травм определяет такой параметр, как масса. Наряду с длиной и временем это одна из основополагающих физических величин, то есть её нельзя разложить на более простые. Масса просто есть, и всё. Многие путают её с весом, но на самом деле вес - это сила, с которой вы притягиваетесь к Земле, и он как раз зависит от массы. Если вы встали на весы и те не сломались, а честно показали количество килограмм, вы только что измерили свой вес. На Марсе ваши весы покажут массу в 2,6 раза меньше. А на Юпитере - примерно во столько же раз больше. Но на самом деле масса не изменится, просто давить на весы вы станете сильнее.

Масса определяет, насколько легко привести тело в движение. В физике это называется "мера инертности". Инертный - значит "неподвижный", а инерция - свойство тела сохранять свою скорость, пока какая-нибудь сила не изменит её.

Представьте себе, что вы едете в автомобиле на большой скорости и забыли пристегнуть ремень безопасности. Если вы вдруг врежетесь в другую машину, то по инерции улетите вперёд прямо сквозь лобовое стекло, потому что машина остановилась, а вы ещё движетесь. Так вот, чем больше ваша масса, тем меньшее расстояние вы пролетите. Но даже если вы занимаете оба сиденья в автомобиле, всё равно лучше пристёгиваться и соблюдать правила дорожного движения.

Масса неразрывно связана с понятием плотности. Плотность - это физическая величина, определяющая, сколько массы запихано в объём, который занимает тело. Чтобы узнать это, нужно разделить массу тела на его объём, а измеряется плотность, как нетрудно догадаться, в килограммах, делённых на кубический метр. Плотность обозначается греческой буквой ρ [ро], и выглядит это так:

где m - от слова mass, то есть "масса", а V - от слова "volume", то есть объём. Почему тогда плотность обозначается как ρ? Это потерялось во мгле времён.

Почему для единиц измерения плотности не придумали отдельное красивое название, вроде "паскаля" или "ньютона"? Так сложилось исторически. На самом деле ведь и паскаль, и ньютон тоже представляют из себя комбинацию простых величин - массы, скорости, длины. Просто они более сложны, и оказалось удобней обозвать их отдельным словом, чем говорить "килограмм, умноженный на метр и делённый на секунду в квадрате". А вот единицы измерения плотности достаточно просты и такого желания у учёных не вызвали. Но, с другой стороны, есть в этом и плюс - меньше нужно учить для контрольной.

У разных веществ плотность разная. У воды она составляет примерно 997 кг/м^3, у ртути - 13546 кг/м^3, а у урана - 19100 кг/м^3. Поэтому урановые ломы тонут даже в ртути, в которой плавает железо (7800 кг/м^3). Почему так получается? Каждое вещество состоит из мельчайших частичек - атомов и молекул. Молекула - это наипростейшая неделимая частица любого вещества, то есть если вы возьмёте кусок железа и начнёте делить его сначала пополам, потом ещё раз пополам, ещё раз и ещё, то в какой-то момент у вас останется частица, которую разделить пополам уже невозможно. Если постараться, раздолбать на куски её всё-таки можно, вот только тогда в результате получится уже не железо.

Каждая молекула состоит из атомов (в простейшем случае один атом и есть молекула, как у того же железа), как их конструктора. Атомы, в свою очередь, состоят из ещё более мелких частиц - протонов, нейтронов и электронов. Обычно принято изображать его вот так:

рисуя протоны и нейтроны в ядре, а электроны - вращающимися вокруг. Это - очень упрощённая модель атома (вспомните, что такое модель), на самом деле это в реальности всё намного сложнее. Но для простых задач и понимания, что такое атом вообще, она вполне годится. Вот примеры, изображающие разные молекулы, в том числе и одноатомные:

Количество элементарных частиц в атоме - это своеобразный код, определяющий его свойства. Если атом состоит из одного протона и одного электрона - это водород. А если из двух протонов, двух нейтронов и двух электронов - это уже гелий. Атом урана же (точнее, наиболее распространённого его вида - урана-238) состоит из 92 протонов, 92 электронов и 146 нейтронов. Поэтому уран такой тяжёлый.

Но плотность не зависит от одной только массы молекул. Влияние имеет и то, насколько близко эти молекулы расположены друг к другу. Если расстояния невелики, и тело сохраняет свою форму, то оно называется твёрдым телом (даже если на самом деле оно мягкое - такое вот издевательство). Если расстояния достаточно большие, чтобы тело растекалось, это уже жидкость - например, вода в обычном состоянии. Если же расстояния очень большие и молекулы свободно летают в пространстве, это - газ.

Существуют также аморфные тела - переходное состояние между жидкостью и твёрдым телом. Они не обладают упорядоченной структурой, как твёрдое тело, но и недостаточно текучи, чтобы назвать их жидкостями.

Всё эти понятия - ключевые для понимания большинства дальнейших разделов физики. Вы ещё не раз проклянёте тот день, когда впервые столкнулись с ними.

Понятия для запоминания

Масса определяет, насколько легко привести тело в движение.

Инерция - свойство тела сохранять свою скорость или неподвижность, пока какая-нибудь сила не изменит её.

Плотность - это физическая величина, определяющая концентрацию массы в объёме, который занимает тело.

Молекула - это наименьшая простейшая частица вещества.

Атом - это частица, из которых состоят молекулы. Один атом также может быть и молекулой.

Протон, нейтрон и электрон - это простейшие частицы, из которых состоит атом.

Твёрдое тело - это такое вещество, молекулы которого выстроены по определённой закономерности и сохраняют это положение.

Аморфное тело - это такое вещество, молекулы которого не выстроены по определённой закономерности, но всё же стремятся сохранить своё положение.

Жидкое тело - это такое вещество, молекулы которого связаны между собой, но уже не сохраняют форму тела.

Газоообразное тело - это такое вещество, молекулы которого находятся в свободном движении.

Задачи

1. В ящик объёмом 2 м^3 насыпали 700 кг ирисок "Буратино", 700 кг конфет "Птичье молоко" и 700 кг драже M&M's, так что ящик оказался заполнен доверху. Определите среднюю плотность полученной смеси.

2. Когда река или озеро замерзает, лёд всегда скапливается сверху. Что происходит с плотностью воды при замерзании?

3. Один аквалангист очень боялся задохнуться и поэтому закачал в свой баллон объёмом 4 литра аж 3600 литров воздуха. Плотность воздуха при нормальных условиях - 1,29 кг/м^3. Чему равна плотность воздуха в баллоне трусливого аквалангиста?

Механика I. Системы отсчёта. Путь и материальная точка. Векторные величины.

Система отсчёта

Есть такой научный анекдот. Приходит ребёнок к отцу и спрашивает:

- Папа, а какое животное в мире самое быстрое?

Обычный человек отвечает:

- Гепард.

Биолог отвечает:

- Пикирующий сокол-сапсан.

Инженер отвечает:

- Человек на околоземной орбите.

Физик же отвечает:

- Не задана система отсчёта. Вопрос некорректен!

И физик в общем-то прав, потому что любое движение мы можем отслеживать и измерять, только сравнив его с движением чего-то другого, в самом простом случае - самого себя. Другими словами, любое движение относительно.

Представьте себе, что вы стоите на Земле, и мимо вас проносится машина. Её скорость относительно вас - ну, скажем, 100 километров в час. Но вы тоже можете сидеть в машине и двигаться в ту же сторону с той же скоростью, и теперь машина будет казаться вам неподвижной, только колёса будут вертеться. Если же вы дадите газу, машина и вовсе поедет в обратную сторону.

Если вы находитесь в поезде, который движется равномерно, и закроете окно, то никакими опытами или наблюдениями не сможете установить, движется поезд или нет. Вы можете подбрасывать предметы, писать, прыгать, стоять на голове - всё будет абсолютно точно так же, как и дома на коврике. В настоящем поезде движение выдаёт только вибрация и звук, а также рывки при замедлении и торможении.

Системой отсчёта называется тело (или несколько тел, неподвижных друг относительно друга), по отношению к которому мы рассматриваем движение. В простейшем случае это Земля. Как известно, она вращается вокруг своей оси, так что каждую минуту вы пробегаете вместе с ней 27 километров - но не замечаете этого, потому что Земля, воздух и всё, что на ней, движутся вместе с вами.

Для осознания сути этого явления рекомендую почитать рассказ Герберта Уэллса "Чудотворец".

Аналогично с поездом или самолётом. В этом случае можно наметить две системы отсчёта: связанную с Землёй и связанную с поездом. В первой вы движетесь со скоростью поезда, во второй - неподвижны.

Решение любой задачи по механике ВСЕГДА начинается с задания системы отсчёта. Вы же запомнили анекдот? Без задания системы вы просто не сможете ни посчитать, ни даже прикинуть решение. Чаще всего в качестве неё задаётся неподвижная поверхность (то есть происходящее в задаче разворачивается просто на земле), но иногда её придётся всё-таки задавать вручную. Более того, кроме выбора тела отсчёта, необходимо также задать и систему координат - оси, которые позволят свести все данные к единому образцу. Вот пример:

Рабочий в зелёном тащит каменный блок для постройки пирамиды в одну сторону, а его собрат-дурачок в красном - в другую. Скорости их одинаковы, но отличаются направлением. Вот для этого и нужна система координат - скорость рабочего А будет положительна, потому что её направление совпадает с направлением оси отсчёта, а скорость рабочего В - отрицательна, потому что она направлена в другую сторону.

Представьте себе, что эти рабочие стоят на полу вдоль огромной линейки. Тогда у рабочего А значения отметок будут увеличиваться: сначала 1 метр пути, потом 2, 3 и так далее. А у рабочего В - уменьшаться: 4, 3, 2 и так далее. Поэтому скорость второго и имеет отрицательную величину.

Материальная точка, путь и траектория

Математика - точная наука. А вот физика - не очень: в ней используются модели, пренебрегающие многими качествами реального мира, потому что они не важны для решения и почти не влияют на него. Например, если мы рассматриваем самолёт, летящий из одного города в другой, нам не важны размеры самолёта - они слишком малы по отношению к его общему пути. А вот если вы пытаетесь протиснуться между сиденьем и каким-то уродом на нём, то материальной точкой считать вас уже никак нельзя.

Материальная точка используется как модель, упрощающая решение задачи. В трёхмерной системе координат достаточно всего трёх чисел, чтобы точно установить её местоположение. Аналогично можно превратить в материальные точки оба аэропорта, и тогда задача становится совсем простой - нужно лишь отследить перемещение точки по пути между ними.

Представьте себе, что вы едете на велосипеде по дороге и случайно въехали в разлитую каким-то косоруким белую краску. Тогда ваш велосипед начнёт оставлять за собой белый след, повторяющий все повороты - это и есть траектория. Она очень важна, если мы хотим точно предсказать, где окажется тело в каждый момент времени. Например, учёные увидели в телескоп астероид, который может угрожать Земле. Как узнать, упадёт ли он на Землю или нет? Нужно вооружиться механикой и рассчитать его траекторию, учитывая силы притяжения от Солнца и планет. И тогда уже решать, посылать туда Брюса Уиллса спасать мир, или и так сойдёт.

Вот почему важно изучать физику.

Векторные величины

До сих пор вам попадались только величины скалярные - это такие, у которых значение определяется только числом. Например, масса. Количества килограмм вполне достаточно для её полного определения. А вот количество километров в час не даст вам ничего: нужно знать, в какую сторону движется объект. Векторная величина - это такая, которая характеризуется не только величиной, но и направлением.

Выше я уже приводил картинку с двумя рабочими. Стрелки, которыми обозначаются их скорости - это и есть векторы. Для удобства на рисунках к задачам их изображают соразмерно значениям скоростей. Например, если рабочий в зелёном тащит блок вдвое быстрее, чем рабочий в красном, то и стрелка будет в два раза длиннее. Разумеется, это всего лишь графическое обозначение реальности и способ лучше понять смысл задачи. Но иногда это работает куда лучше, чем абстрактные цифры.

Понятия для запоминания

Система отсчёта - тело и система координат, относительно которых мы изучаем движение других тел.

Материальная точка - это модель, пренебрегающая собственными размерами тела для упрощения решения.

Путь - это расстояние, которое преодолевает тело с течением времени.

Траектория - это линия, которая определяет положение пути в пространстве.

Скалярная величина - это такая физическая величина, которая определяется только количеством (числом условных единиц).

Векторная величина - это такая физическая величина, которая определяется количеством и направлением.

Скорость и ускорение

Когда вы идёте в школу, то двигаетесь приблизительно с одной и той же скоростью — около 3 километра в час. Вам нет нужды ни ускоряться, ни замедляться. В этом случае ваше движение называется равномерным.

Когда же вы бежите с последнего урока, то ваша скорость постоянно меняется. Вот вы выбежали из класса, задержались, чтобы треснуть одноклассника портфелем, потом побежали ещё быстрее, удирая от праведной мести с его стороны, вот он вас догнал и вы снова замедлились... в простейшем случае вы просто бежите, постепенно наращивая скорость. Такое движение называется ускоренным, а если вы то замедляетесь, то ускоряетесь, то просто неравномерным.

И скорость, и ускорение — это векторные величины. Может ли их направление не совпадать?

Может. Выглядит это вот так:

Зелёный рабочий ел много каши и теперь прикладывает к блоку достаточно силы, чтобы тот двигался всё быстрее. Направления скорости и ускорения его блока совпадают, значит, блок ускоряется.

А вот красный рабочий каши утром не поел, и теперь устал, а его блок движется всё медленнее, пока не остановится совсем. Направления векторов скорости и ускорения его блока противоположны, а значит, он замедляется.

Как это выражается математически? Если движение равномерное, то вот так:

S — это путь, также встречается обозначение L, v — от англ. velocity (скорость), а t, как вы, наверное, уже догадались, от англ. time (время).

Путь, пройденный телом за определённое время, равен его скорости, умноженной на это время.

Физический смысл этого уравнения в следующем: так как каждую секунду тело проходит одно и то же расстояние, то нам надо просто посчитать количество секунд и умножить его на это расстояние. Почему тогда скорость имеет размерность «метры в секунду» (это стандарт из системы СИ), а не метры, раз это расстояние? Потому что это расстояние за единицу времени. Представьте себе, вам сказали, что машина движется со скоростью 5 метров. Что это вам скажет? Да ничего. Пять метров за секунду? За две секунды, за пять, десять, за час? Вы не сможете ничего посчитать, зная только это. Без времени тут никак.

Теперь вспомните правила арифметических действий над размерностями (и правила подсчёта дробей). Что будет, если мы умножим скорость на время?

Конечно же, метры, то есть расстояние. А именно расстоянием является путь.

Так как это уравнение, то оно поддаётся обычным правилам алгебры. В любой физической формуле можно выносить составляющие за скобки, переносить их из правой части в левую и наоборот, и так далее, пока вы не добьётесь желаемого. В большинстве задач механики всё сводится именно к этому: вам нужно построить уравнение, а потом перестановкой составляющих оставить слева то, что вы хотите найти, а справа — всё остальное. А потом просто подставить вместо букв значения и посчитать.

Вот пример такой задачи:

Задача. Злобный тёмный эльф Унтаринатрох Таыщ’ын’кахр’бун’юк метнул огненный шар в добрую эльфийку Фигняэль. Шар летит со скоростью v=20 м/с, а расстояние между противниками составляет 120 метров. Через какое время добрая эльфийка Фигняэль превратится в головешки?

Решение. Если вы посмотрите на показанную выше формулу, то она позволяет рассчитать путь, но путь нам уже известен, а найти надо время. Как это сделать? Да очень просто! Нужно перекинуть скорость на другую сторону уравнения, чтобы время осталось в гордом одиночестве. Так как скорость является множителем в выражении, то нужно разделить на неё левую часть. Получится вот что:

В физике принято, что вычисляемая физическая величина обычно находится слева, а не справа. Поэтому части стоит поменять местами (смысл от этого не изменится):

А дальше — дело техники. Нужно всего лишь подставить вместо букв числа, и получится:

Фигняэль получит огненным шаром по физиономии через 6 секунд.

Такие упражнения — простейший вид задач на механику, где есть только один движущийся объект, ускорение равно нулю, и больше на него ничего не действует. В общем случае к ней можно свести, например, задачу о том, как быстро самолёт прилетит в пункт назначения. Зная его среднюю скорость (о ней мы ещё поговорим) и расстояние, можно пренебречь взлётом и посадкой и посчитать по этой же формуле. Конечно, обычно время прилёта пишут на билете, но смотреть туда — удел слабаков.

Подсказка 1. Довольно часто в учебниках встречается концепция «волшебного треугольника», которая будто бы позволяет запомнить, что на что нужно делить в формуле «время-путь-скорость». Вот как это выглядит:

На самом деле достаточно помнить, что скорость измеряется в метрах в секунду. Затем нужно просто записать оригинальную формулу, заменить буквы на размерности, и получить вот такое:

А зная это, уже несложно вывести, как получить расстояние и время. Ведь если вы попытаетесь умножить или разделить неверно, то получитесь квадратные секунды или метры, в которых, очевидно, ни время, ни скорость не измеряются. Треугольник же — неверный способ, так как вы просто зубрите, вместо того, чтобы понимать, почему формула выстроена именно так, а не иначе. Понимание позволит ориентироваться в случае, если вам вдруг выпадет задача с незнакомым условием, а отмазка «мы же такого решали!» не прокатит. Например, вас захватили террористы и сказали, что отпустят, только если вы всё решите правильно. Что вы тогда будете делать?

График движения

Движение огненного шара можно выразить в виде графика функции, где по горизонтали мы отмеряем расстояние, а по вертикали — время (можно и наоборот, но так привычней). Зачем это нужно? Ну, во-первых, это красиво и наглядно. А во-вторых, так очень просто найти, сколько успел пролететь шар в любой момент времени. Или, если заходите, сколько времени прошло, когда шар преодолел интересующее расстояние. Вот, смотрите:

Я наугад ткнул в вертикальную шкалу — получилось что-то около 3,5 секунд. Теперь я провёл от неё горизонтальную линию до пересечения с графиком, а оттуда — вниз, et voila! Я попал на нужное мне значение расстояние. В момент t = 3,5 с шар пролетит 70 метров.

Конечно, когда вы поднатореете в физике, для таких простых вещей графики вам не понадобятся. Но для более сложных они могут оказаться очень полезны. Вот пример.

Задача. Один школьник хулиганил в классе, а когда пришла учительница, выпрыгнул в окно и бросился бежать домой со скоростью 40 м/с. Опешив от неожиданности, ровно через две секунды учительница швырнула ему вслед кусочек мела со скоростью 40 м/с, красную ручку со скоростью 55 м/с и свою сумочку со скоростью 120 м/с. Какой из предметов настигнет хулигана первым и в какой момент времени это произойдёт?

Решение. Обратите внимание: тут и сдвиг во времени, и аж четыре движущихся объекта, и поиск момента столкновения. Алгебраическими методами решить эту задачу, конечно, тоже можно, но решение будет громоздким и объёмным. Куда проще сделать график.

Для этого нужно нарисовать координатную сетку и выбрать масштаб, прикинув результат. Времени на всё вряд ли потребуется больше 8 секунд, так что по вертикали откладываем это значение. За эти 20 секунд самый быстрый объект — сумочка — пролетит 120*8 = 960 метров, округлим и получим 1000 метров по горизонтали.

Дальше нужно нарисовать графики движения. Так как скорости всех объектов постоянны, то все графики будут прямыми линиями, а значит, для каждого из них достаточно построить две точки.

Хулиган начинает движение в 0 секунд. За первую секунду он пробежит 40 метров. Откладываем вверх 1, вбок 40 (удобней сделать это кратно - отложить, например, 5 и 200, потому что для них у нас уже есть отметки на шкале). Аналогично строим остальные три прямые. Но, поскольку у них оказывается отставание в две секунды, нужно сдвинуть начало линий вверх на 2 единицы. Если обрезать лишнее на осях координат, получится следующее:

Так как скорость мелка равна скорости хулигана, линии их графиков параллельны. А вот скорости красной ручки и сумочки выше, поэтому они пересекают линию скорости хулигана. Нам нужно лишь выделить пересечение, находящееся ниже остальных (это линия скорости сумочки), и посмотреть, на какой высоте оно находится, проведя горизонтальную линию до пересечения с осью времени (показана пунктиром).

Сумочка настигнет хулигана первой через 3 секунды.

Векторные операции

Скорости (и вообще любые векторные величины) можно складывать между собой, не забывая о направлении, конечно. Например, представьте себе, что вы едете на поезде и идёте по коридору вагона от хвоста к голове. Тогда для наблюдателя на неподвижной земле поезд будет двигаться с одной скоростью, а вы — с другой, которая равно сумме скорости поезда и вашей собственной.

Думаю, несложно догадаться, как это всё будет выглядеть, если вы пойдёте в обратном направлении.

Как правило, в случае решения таких сложных задач начинают с того, что обозначают систему координат и расписывают векторы скоростей всех движущихся объектов, а также векторы ускорений, сил и так далее. И только потом начинают их складывать и вычитать.

Равноускоренное движение

Это означает, что ускорение не меняется, и скорость возрастает или уменьшается на одну и ту же величину каждую единицу времени. Ускорение измеряется в метрах, делённых на секунду в квадрате (м/с^2).

Почему такая странная размерность? Вот её логика. Чтобы узнать скорость, мы считали, как изменяется путь за единицу времени, и соответственно делили расстояние на время. А чтобы узнать ускорение, мы считаем, как изменится скорость за единицу времени, и соответственно делим скорость на время. Что получится в результате?

Мы просто сокращаем выражение по правилам, которые я описал раньше. В реальности, конечно, квадратных секунд не бывает. Но такие сокращения позволяют избавиться от громоздких формул и писать красиво.

Как же рассчитать путь при равноускореном движении? Вот так:

a — от лат. acceleratio (ускорение), V0 — начальная скорость движения тела. Внимательный читатель легко заметит, что если подставить в эту формулу a = 0, то она превратится в уже упомянутую выше формулу равномерного движения, что и логично.

Перемещать составляющие в этой формуле значительно сложнее, потому что здесь больше намешано. Например, если мы хотим посчитать время, зная путь, то перекинем путь на правую сторону и получим вот такую формулу

которая, внезапно, является хорошо знакомым вам (знакомым же, да?) квадратным уравнением, где вместо x — t. И находить время тут надо по старому доброму дискриминанту.

Во всех этих преобразованиях легко запутаться, и в следующих главах я расскажу, как проверить себя.

Существует также обозначение g, которое используют для ускорения свободного падения — его испытывает тело при падении вниз. На Земле оно в среднем равно 9,81 м/с^2. Расчёты получаются точно такими же, просто нет нужны дополнительно уточнять значение ускорения.

А сейчас вот пример задачи.

Задача. Злобный тёмный эльф Таыщ’ын’кахр’бун’юк метнул огненный шар в добрую эльфийку Фигняэль. Шар полетел со скоростью 20 м/с, а расстояние между противниками составляет 90 метров. Через две секунды после запуска шара Фигняэль наложила заклинание, которое стало замедлять шар с ускорением a = 5 м/с^2. Долетит ли огненный шар Таыщ’ын’кахр’бун’юка до Фигняэль?

Решение. Сначала нужно нарисовать рисунок и провести ось, которая послужит нам ориентиром., а потом указать на нём вектора скоростей и ускорения (что определит их знаки при расчёте). Выглядит это вот так:

l - это пройденный шаром путь, а S - общее расстояние между поединщиками. Так как Фигняэль замедляет огненный шар, вектор ускорения противоположен вектору скорости, а его значение в формулах мы записываем с минусом (там, где сам a положителем. Следите за знаками!)

Далее надо исследовать условие. Очевидно, что движение шара можно разделить на две части — первые две секунды, пока он двигался равномерно, и всё остальное время, когда на него действовало заклинание Фигняэль. Запишем это вот так:

Посчитаем l1. Все данные у нас есть, достаточно просто взять формулу для равномерного движения и подставить числа вместо букв:

Теперь надо рассчитать l2. Здесь поступить так же, как в предыдущем случае, не выйдет — нам не хватает данных. Рассмотрим задачу внимательно. Скорость шара постепенно замедляется, и, конечно, рано или поздно упадёт до нуля. Следовательно, нужно узнать расстояние, которое он пролетит к этому времени, и сравнить его с расстоянием между поединщиками.

Но расстояние так просто не узнать — если просмотреть формулу, выяснится, что нам неизвестно время. Как посчитать его? Для этого надо включить мозги (если они, конечно, есть), и, внимание, собрать формулу самому. Звучит страшно, но только на первый взгляд.

У нас есть начальная скорость — 20 м/с. Есть ускорение, которое показывает, на сколько эта скорость изменяется каждую секунду. Как узнать, какой будет скорость через, например, 5 секунд? Вспомните, что я писал выше о размерностях этих величин. Они подобны по своей сути — обе являются отношением чего-то к времени. Значит, и рассчитываются подобным образом. Нужно умножить ускорение на время (тогда мы получим прирост скорости за это время) и сложить с начальным значением скорости. Вот так:

Это очевидно. Теперь вернёмся к нашей задаче. У нас есть конечное значение скорости — 0. Если подставить его вместо v в этой формуле, мы получим вот такое линейное уравнение:

из которого уже несложно получить значение t. И результат:

Шар остановится через 4 секунды.

Теперь у нас есть все данные и уже несложно посчитать, какое расстояние он к тому времени пролетит:

Шар не долетит до Фигняэль 10 метров.

Средняя скорость

Если объект движется неравномерно, проходя за один и тот же период времени разный путь, то для вычислений удобно воспользоваться так называемой средней скоростью. Для этого надо разделить весь пройденный путь на всё затраченное время.

Задача. Школьник Вася Пупкин вышел из дома ровно в 7:30 и пошёл в школу. Первые 5 минут он спокойно шёл со скоростью 3 км/час. Ещё 5 минут — со скоростью 2 км/час, так как погрузился в мысли об экзистенциальном кризисе. Затем он остановился поболтать с другом, на что ушло ещё 19 минут. После этого, взглянув на часы и поняв, что урок вот-вот начнётся, Пупкин побежал в школу со скоростью 100 км/час, и бежал ещё 1 минуту. Вычислите среднюю скорость школьника.

Решение. Нетрудно заметить, что решить эту задачу простой подстановкой чисел в формулу не выйдет — у нас по-прежнему не хватает данных, в частности — пути. Значит, его нужно вычислить, и сделать это можно, посчитав путь на каждом участке с постоянной скоростью. Всего их 4. Нарисуем для наглядности:

Чем равен путь на первом участке l1? У нас есть и время, и скорость. Всё, что нужно — это свести данные к единой размерности, а потом посчитать. Удобней это сделать с минутами: 5 минут - это 1/12 часа (60/5=12), 1 минута - 1/60. И считаем участки (стоит отметить, что 19 минут Вася Пупкин стоял, то есть его скорость была равна 0), складываем их и получаем:

Остаётся только разделить полученный путь на всё время движения:

(30 мин = 0,5 часа, я просто поленился переводить это в записи)

Средняя скорость школьника равна 5,5 км/час.

Понятия для запоминания

Скорость — это физическая величина, характеризующая быстроту перемещения и направление материальной точки или точки, принадлежащей физическому телу. Скорость имеет смысл только при заданной системе отсчёта.

Ускорение — это физическая величина, характеризующая быстроту изменения значения и направления скорости.

Равномерное движение — это движение, при котором скорость тела неизменна (и величина, и направление).

Равноускоренное движение — это движение, при котором скорость тела изменяется линейно, то есть на одно и то же значение каждую секунду.

Неравномерное движение — это движение, при котором скорость изменяется нелинейно.

Средняя скорость — отношение всего пути, пройденного телом, к полному времени движения. Не пытайтесь считать среднюю скорость как среднее арифметическое — это ошибка.

Задачи

1. Один бесстрашный паркурщик очень любил прыгать по крышам без страховки, но однажды всё же сорвался со здания высотой 30 метров и полетел вниз. Рассчитайте скорость паркурщика в момент приземления.

2. Электричка едет со скоростью 60 км/час. Рядом с ним по шоссе едет машина со скоростью 40 км/час, из окна которой высунулся какой-то мужик и показывает пассажирам свежий номер «Плейбоя». Увидев это, один школьник бросился бежать против хода электрички, чтобы синхронизировать свою скорость со скоростью мужика и вдоволь налюбоваться картинками из журнала. С какой скоростью он должен двигаться?

3. Мужик из задачи № 2 перелистывает страницу журнала один раз в секунду. Всего в журнале 100 страниц. Успеет ли школьник полюбоваться ими всеми, если электричка имеет в длину 200 метров?

4. Добрая эльфийка Фигняэль поехала искупаться в лесном озере и оседлала единорога, выехав ровно в 7:00 со скоростью 10 км/час, а в 13:00 была у озера. На следующий день она снова поехала искупаться, но на этот раз злобный тёмный эльф Таыщ’ын’кахр’бун’юк накормил единорога морковкой с перцем, и тот поскакал со скоростью 15 км/час, а Фигняэль прибыла к озеру в 11:00. С какой скоростью ей надо было ехать, чтобы прибыть к озеру в полдень?