Аурика Луковкина

Высшая математика. Шпаргалка

Закладка:

1. Основные понятия. Системы координат. Прямые линии и их взаимное расположение

Координата точки– это величина, определяющая положение данной точки на плоскости, на прямой или кривой линии или в пространстве. Значение координаты зависит от выбора начальной точки, от выбора положительного направления и от выбора единицы масштаба.

Прямоугольная система координатсостоит из двух взаимно перпендикулярных прямых – осей, точка их пересечения –начало координатО, осьОХ–ось абсцисс, осьОY–ось ординат. На осях выбираются масштаб и положительное направление.

Рис. 1

Системы координат

Положение точкиМопределяется двумя координатами: абсциссойхи ординатойу. Записывается так:М(х, у). Оси координат образуют четыре координатных угла I, II, III, IV. Если точка находится в I координатном угле (квадранте), то и абсцисса, и ордината ее положительные, если – во II квадранте, то абсцисса отрицательна, а ордината положительна, если в – III квадранте, и абсцисса, и ордината отрицательны, если – в IV квадранте, положительна абсцисса, а ордината отрицательна. У точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю, и наоборот, если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю.

Косоугольной системой координатаналогична прямоугольной, только оси координат пересекаются под углом не равным прямому. Прямоугольная и косоугольная системы относятся кдекартовой системе координат.

Полярная система координатсостоит из полюсаОиполярной осиОХ, проведенной из полюса. Положение точки определяется полярным радиусомρ(отрезокОМ) иполярным угломφ. Для полярного угла берется егоглавное значение(от –πдоπ). Числаρ, φназываютсяполярными координатамиточкиМ.

Связь между координатами точки в прямоугольной и полярной системах координат:x=rcosφ, y=rsinφили:

Пусть имеются две точкиМ1(х1,у1) иМ2(х2,у2).Расстояние между точками:

Общее уравнение прямой линии(система координат прямоугольная): Ах + Ву + С = 0(АиВодновременно не равны нулю).

Если В не равно нулю, то уравнение прямой:у = ах + b(здесьа = – А / В, b = – С / В). Здесьаесть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс,bравно длине отрезка от начала координат до точки пересечения рассматриваемой прямой с осью ординат. Уравнение прямой, параллельной оси абсцисс:у=b, уравнение оси абсцисс:у= 0; уравнение прямой, параллельной оси ординат:х=с, уравнение оси ординат:х= 0.

2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой

1. Пусть даны три точкиА1 (х1,у1),А2 (х2,у2),А3 (х3,у3), тогдаусловие нахождения их на одной прямой:

либо (х2 –х1) (у3 –у1) – (х3 –x1) (у2 –у1) = 0.

2. Пусть даны две точкиА1 (х1,у1),А2 (х2,у2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти две точки:

(х2 –х1)(у – у1) – (х – х1)(у2 –у1) = 0 или (х – х1) / (х2 –х1) = (у – у1) / (у2 –у1).

3. Пусть имеются точкаМ(х1,у1) и некоторая прямаяL, представленная уравнениему=ах+с.Уравнение прямой, проходящей параллельно данной прямойLчерез данную точкуМ:

у – у1 =а(х – х1).

Если прямаяLзадана уравнениемАх+Ву+С= 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точкуМ, описывается уравнениемА(х – х1) +В(у – у1) = 0.

Уравнение прямой, проходящей перпендикулярно данной прямойLчерез данную точкуМ:

у – у1 = –(х – х1) /а

или

а(у – у1) =х1 –х.

Если прямаяLзадана уравнениемАх+Ву+С= 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точкуМ(х1,у1), описывается уравнениемА(у – у1) –В(х – х1) = 0.

4. Пусть даны две точкиА1 (х1,у1),А2 (х2,у2) и прямая, заданная уравнениемАх+Ву+С =0.Взаимное расположение точек относительно этой прямой:

1) точкиА1,А2 лежат по одну сторону от данной прямой, если выражения (Ах1 +Ву1 +С) и (Ах2 +Ву2 +С) имеют одинаковые знаки;

2) точкиА1,А2 лежат по разные стороны от данной прямой, если выражения (Ах1 +Ву1 +С) и (Ах2 +Ву2 +С) имеют разные знаки;

3) одна или обе точкиА1,А2 лежат на данной прямой, если одно или оба выражения соответственно (Ах1 + +Ву1 +С) и (Ах2 +Ву2 +С) принимают нулевое значение.

5.Центральный пучок– это множество прямых, проходящих через одну точкуМ(х1,у1), называемуюцентром пучка. Каждая из прямых пучка описывается уравнением пучкау – у1 =к(х – х1) (параметр пучкакдля каждой прямой свой).

Все прямые пучка можно представить уравнением:l(y – y1) =m(x – x1), гдеl, m– не равные одновременно нулю произвольные числа.

Если две прямые пучкаL1 иL2 соответственно имеют вид (А1х+В1у+С1) = 0 и (А2х+В2у+С2) = 0, то уравнение пучка:m1(А1х+В1у+С1) +m2(А2х+В2у+С2) = 0. Если прямыеL1 иL2 пересекающиеся, то пучок центральный, если прямые параллельны, то и пучок параллельный.

6. Пусть даны точкаМ(х1,у1) и прямая, заданная уравнениемАх + Ву + С = 0.РасстояниеdотэтойточкиМдо прямой:

3. Полярные параметры прямой. Нормальное уравнение прямой. Преобразование координат

Полярными параметрамипрямойLбудутполярное расстояниер(длина перпендикуляра, проведенного к данной прямой из начала координат) иполярный уголα(угол между осью абсциссОХи перпендикуляром, опущенным из начала координат на данную прямуюL). Для прямой, представленной уравнениемАх+Ву+С= 0: полярное расстояние

полярный уголα

причем приC> 0 берется верхний знак, приC< 0 – нижний знак, приС= 0 знаки берутся произвольно, но либо оба плюса, либо оба минуса.

Закладка:

Нормальное уравнение прямой(уравнение в полярных параметрах) (cм. рис. 2):xcosα+ysinα – p=0. Пусть прямая представлена уравнением видаАх + Ву + С =0. Чтобы данное уравнение привести к нормальному виду необходимо последнее разделить на выражение (знак берется в зависимости от знакаС).

Рис. 2

После деления получается нормальное уравнение данной прямой:

Пусть имеется прямаяL, которая пересекает оси координат. Тогда данная прямая может быть представленауравнением в отрезкахх/а+у/b= 1. Справедливо: если прямая представлена уравнениемх/а+у/b= 1, то она отсекает на осях отрезкиа, b.

Преобразование координат возможно путем переноса начала координат, или поворотом осей координат, или совместно переносом начала и поворотом осей.

Припереносе начала координатсправедливо следующее правило: старая координата точки равна новой, сложенной с координатой нового начала в старой системе. Например, если старые координаты точкиМбылих, у, а координаты нового начала в старой системеО*(х0, у0), то координаты точкиМв новой системе координат с началом в точкеО* будут равных – х0,у – у0 т. е. справедливо следующеех=х* +х0,у=у* +у0 илих* =х – х0,у* =у – у0 (* новые координаты точки).

Приповороте осейна некоторый уголφсправедливы следующие формулы (гдех, у– старые координаты точки;х*,у* – новые координаты этой же точки):

x=x* cosα – y* sinα;

y=x* sinα+y* cosα

или

x* =xcosα+ysinα;

y* = –xsinα+ycosα.

4. Порядок алгебраических линий. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола

ЛинияL, представленная в декартовой системе уравнениемn–степени называетсяалгебраической линиейn–порядка.

Окружностьс радиусомRи центром в начале координат описывается уравнением:х2 +у2 =R2, если центром окружности является некоторая точкаС (а, b), то уравнением:

(х – а)2 + (у – b)2 =R2.

Чтобы уравнениеАх2 +Вх+Ау2 +Су+D= 0 описывало окружность, необходимо, чтобы оно не содержало члена с произведениемху, чтобы коэффициенты прих2 иу2 были равны, чтобыВ2 +С2 – 4АD> 0 (при невыполнении данного неравенства уравнение не представляет никакой линии).

Координаты центра окружности, описанной уравнениемАх2 +Вх+Ау2 +Су+D= 0 и ее радиус:a= –B /2A, b= –C /2A, R2 = (В2 +С2 – 4АD) / 4A2.

Эллипс –сжатая окружность (рис. 3).

Рис. 3

ПрямаяАА1 называетсяосью сжатия, отрезокАА1 = 2а–большой осью эллипса,отрезокВВ1 = 2b–малой осью эллипса(a>b) точкаО–центром эллипса, точкиА, А1,В, В1 –вершинами эллипса. Отношениеk = b / aкоэффициент сжатиявеличинаα= 1 –k= (a – b)/ a–сжатие эллипса. Эллипс обладает симметрией относительно большой и малой осей и относительно своего центра.

Каноническое уравнение эллипса:x2 /a2 +y2 /b2 = 1.

Другое определение эллипса:эллипс есть геометрическое место точек (М), сумма расстояний которых до двух данных точекF, F1 имеет одно и то же значение 2а(F1M+FM= 2a) (рис. 4).

Рис. 4

ТочкиFиF1 называютсяфокусами эллипса, а отрезокFF1 –фокусным расстоянием, обозначаетсяFF1 = 2с, причемс<а. Эксцентриситет эллипсаε– это отношение фокусного расстояния к большой осиε = с / а. Эксцентриситет эллипса меньше единицы, имеем:k2 = 1 –ε2.

Гипербола– это геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точекF, F1 имеет одно и то же абсолютное значение (рис. 5). |F1M – FM| = 2a. ТочкиF, F1 называютсяфокусами гиперболы, расстояниеFF1 = 2c–фокусным расстоянием. Справедливо:c > a.

Каноническое уравнение гиперболы:х2 /а2 +у2 / (а2 –с2) = 1. Асимптоты гиперболы заданы уравнениямиу=bx/aиy= –bx / a(b2 =c2 –a2).

Парабола –это геометрическое место точек равноудаленных от данной точки F(фокуса параболы)и данной прямойPQ(директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисыFCназываетсяпараметром параболыи обозначаетсяр. Вершина параболы – точкаО. Каноническое уравнение параболы:у2 = 2рх.

Рис. 5

5. Аналитическая геометрия в пространстве. Плоскость

Всякая поверхность в пространстве определяется уравнением видаf(x, y, z) = 0.

Общее уравнение плоскости:Ах+Ву+Сz+D= 0. ЕслиА, В, С, Dне равны нулю, то уравнение называетсяполным.

ПриD= 0 уравнениеАх+Ву+Сz= 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.

ЕслиА =0, то уравнение определяет плоскость, параллельную осиОх. Если два из коэффициентовА, В, Сравны нулю одновременно, то уравнение определяет плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей: приА =0 иВ =0 параллельно плоскостихОу, приА =0 иС =0 параллельнохОz, приВ =0 иС= 0 параллельноyOz. УравнениеCz= 0 определяет плоскостьxOy, By= 0 – плоскостьxOz, Ax= 0 – плоскостьyOz. Уравнение плоскости в «отрезках»:х / а + у / b + z / c =1. Расстояние от точкиМ(х1,у1,z1) до плоскости:

Пусть имеются две плоскостиА1х+В1у+С1z+D1 = 0 иА2х+В2у+С2z+D2 = 0. Уголφмежду этими плоскостями:

Условие равенства двух плоскостей:А1/ А2 =В1/ В2 =С1/ С2 =D1/ D2. Условие параллельности плоскостей:А1 /А2 =В1 /В2 =С1 /С2. Условие перпендикулярности плоскостей:А1А2 +В1В2 +С1С2 = 0. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точкуМ(х1,у1,z1) параллельно плоскости, заданной уравнениемАх + Ву + Сz + D =0:А(х – x1) +В(у – y1) +С(z – z1) +D= 0. Уравнение плоскости, проходящей через три точкиМ1 (х1,у1,z1),М2 (х2,у2,z2),М3 (х3,у3,z3):

Закладка:

Уравнение плоскости, проходящей через две точкиМ1(х1,у1,z1) иМ2(х2,у2,z2) перпендикулярно к плоскости, заданной уравнениемAx+By+Cz+D= 0:

Уравнение плоскости, проходящей через точкуМ1 (х1,у1,z1) перпендикулярно двум непараллельным плоскостямА1х+В1у+С1z+D1 = 0 иА2х+В2у+С2z+D2 = 0, имеет вид:

Имеем три плоскости, заданные общими уравнениями:

6. Прямая в пространстве

Всякая прямая определяется в пространстве системой двух уравнений

Канонические (симметричные) уравнения прямой:(x – x0) /m= (y – y0) /p= (z – z0)/ q, прямая проходит через точкуM0 (x0,y0,z0). Уголφмежду двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями:

Условие параллельности двух прямых:m1/ m2 =p1/ p2 =q1/ q2. Условие перпендикулярности двух прямых:m1m2 +p1p2 +q1q2 = 0.

Пусть имеются прямая (x – x0) /m= (y – y0) /p= (z – z0) /qи плоскостьАх+Ву+Сz+D= 0. Условие параллельности прямой и плоскости:Am+Bp+Cq= 0. Условие перпендикулярности прямой и плоскости:A / m=B / p=C / q. Условие принадлежности прямой плоскости:

Если прямая задана параметрическиx=x0 +mt, y=y0 +pt, z=z0 +qt, то координаты точки пересечения этой прямой и плоскостиАх + Ву + Сz + D =0 определяются по параметрическим уравнениям прямой при подстановке значенийt, определенных (Am+Bp+Cq)t+Ax0 +By0 +Cz0 +D= 0. Уравнение прямой, проходящей через точкиМ1 (х1,у1,z1) иМ2 (х2,у2,z2):(х – х1) / (х2 –х1) = (у – у1) / (у2 –у1) = (z – z1) / (z2 –z1). Уравнение плоскости, проходящей через точкуМ0(х0,у0,z0) перпендикулярно прямой (x – x1)/ m= (y – y1)/ p= (z – z1)/ q, имеет вид:m(x – x0) +p(y – y0) +q(z – z0) = 0. Уравнение прямой, проходящей через точкуМ0(х0,у0,z0) перпендикулярно плоскостиАх+Ву+Сz+D= 0, имеет вид: (х – х0)/ А= (у – у0)/ В= (z – z0) /C. Уравнение плоскости, проходящей черезМ0(х0,у0,z0) и (x – x1) /m= (y – y1)/ p= (z – z1)/ q, не проходящую черезМ0:

Уравнение плоскости, проходящей черезМ0 (х0,у0,z0) и параллельной двум прямым:

Уравнение плоскости, проходящей через (x – x1) /m1 = (y – у1)/ p1 = (z – z1) /q1 и параллельной (x – x2) /m2 = (y – y2) /р2 = (z – z2) /q2 имеет вид:

Уравнение плоскости, проходящей через (x – x1) /m1 = (y – y1) /p1 = (z – z1)/ q1 перпендикулярноАх+Ву+Сz+D= 0;

7. Матрицы и действия над ними

Матрицейразмерностиmxnназывается прямоугольная таблица вида:

илиА= (aij), гдеi= 1, 2…,m; j= 1, 2…,n. Числаaij– называютсяэлементами матрицы. Еслиm= 1, аn> 1, то матрица являетсяматрицей–строкой. Еслиm> 1, аn= 1, то матрица являетсяматрицей–столбцом. Еслиm=n, то матрица называетсяквадратной, а число ее строк (или столбцов) называетсяпорядком матрицы.

Две матрицыАиВназываютсяравными, если их размер одинаков иaij=bij.Нулевая матрица– это матрица, у которой все элементы равны нулю.

Единичной матрицейназывается квадратная матрица:

Матрицей,транспонированнойк матрицеАразмерностиmхnназывается матрицаАт размерностиnхm, полученная из матрицыАесли ее строки записать в столбцы а столбцы – строки.

Матрицы одинакового размера(однотипные)можно складывать, вычитать, перемножать и умножать на число.

Суммой (разностью)двух однотипных матрицАиВназывается матрицаС, элементы которой равны сумме или разностиcij=aij±bij. При сложении справедливы:

А + В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С), А + 0 = А.

Произведением матрицыАна числорназывается матрица, элементы которой равнырaij.

Справедливы свойства:

α(βA) = (αβ)А;

(А + В)α=αА + αВ;

(α + β)А=αА + βА.

Произведениемдвух квадратных матрицАиВназывается матрицаС, элемент которой, находящийся на пересеченииi–ой строки иk–го столбца, является суммой парных произведений элементовi–ой строки первой матрицы на элементk–ой строки второй матрицыС=АВ. То же правило распространяется на умножение прямоугольных матриц, у которых число столбцов матрицы–множимого равно числу строк матрицы–множителя.

Матрицы, для которыхАВ=ВА, называютсякоммутирующими.

Справедливы свойства:

1)ЕА=АЕ=А;

2)А(ВС) = (АВ)С;

3) a(АВ) = (aА)В=А(aВ);

4) (А1 +А2)В=А1В+А2В, А(В1 +В2) =АВ1 +АВ2;

5)А0 = 0А= 0;

6) (АВ)т =АтВт.

При умножении двух ненулевых матриц может получиться нулевая матрица.

8. Определители. Обратная матрица. Вырожденная и невырожденная матрицы. Система линейных уравнений

Определителем второго порядка,соответствующим матрице , называется число, равное

Свойства определителя:

1) величина определителя не меняется, если заменить его строки соответствующими столбцами или если к элементам какой–либо его строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и тоже число;

2) определитель поменяет знак при перемене мест его строк или столбцов;

Закладка:

Определителем второго порядка,соответствующим матрице , называется число, равное

Свойства определителя:

2) определитель поменяет знак при перемене мест его строк или столбцов;

3) определитель будет равен нулю, если элементы какого–либо столбца (или строки) равны нулю или элементы двух строк (или столбцов) соответственно равны.

МиноромMikэлементаaikопределителя IАI называется определитель полученный изАвычеркиванием той строки и того столбца которым принадлежит этот элемент.

Алгебраическим дополнениемAikэлементаaопределителя |A| называется его минор, взятый со знаком (–1)i+k,A= (–1)i+kMik.

Определителемn–порядка,соответствующим квадратной матрицеn–го порядка, называется число, равное сумме парных произведений элементов какой–либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Теорема.ЕслиАиВ– квадратные матрицы одного порядка с определителями |A| и |B|, то определитель матрицыС = АВравен: |C| = |A| |B|.

Обратной матрицейдля квадратной матрицыАназывается матрицаА–1, которая удовлетворяет условиямАА–1= А–1А = Е. МатрицаАназываетсявырожденной, если ее определитель |A| равен нулю.

Теорема.Матрица

гдеAik– алгебраическое дополнение элементаaikневырожденной матрицыА, является обратной дляА.

Пусть дана системаnлинейных уравнений сnнеизвестными:

9. Числовые последовательности, арифметические действия над ними. Предел последовательности

Если каждому значениюnиз натурального ряда чисел – 1, 2,n– ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное числоа, то множество занумерованных вещественных чисел –а1,а2,аn– называетсячисловой последовательностью (последовательностью), числааnназываютсяэлементамииличленамипоследовательности.

Числовая последовательность:

{an},an=f(n),

гдеn= 1, 2, 3… – номер члена последовательности.

Cпособы задания последовательностей:

1) аналитический (с помощью формулыn–члена);

2) рекуррентный (путем задания первого члена или нескольких членов и формулы для определения любого члена по известным членам);

3) словесный.

Суммой, разностью, произведениемичастным двух последовательностей{xn} и {yn} называются соответственно следующие последовательности: {xn+yn}, {xn–yn}, {xn×yn}, {xn/yn}, в случае частногоyn≠ 0. Если в нуль обращается лишь конечное число членов последовательности знаменателя, то частное определяется с номера, отличного от нуля члена последовательности.

Последовательность называетсявозрастающей (убывающей), если для любогоnвыполняется условие:an+1 >an(an+1 <an). Возрастающие и убывающие последовательности называютсястрого монотонными.

Последовательность называетсяневозрастающей (неубывающей), если для любогоnвыполняется условие:an+1 ≤an(an+1 ≥an).

Невозрастающие и неубывающие последовательности называютсямонотонными.

Последовательность {an} называетсясходящейся, если существует такое числоА, что для любого положительного числаε> 0 найдется такой номерN, что при всехn>N|an – A| <ε. Если последовательность не сходится, то она называетсярасходящейся.

ЧислоАназываетсяпределом последовательности{an}, если дляε> 0 существует такое натуральное числоN, что при всехn>N|an– A| <ε. Обозначение предела последовательности: .

Теорема.Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Для подпоследовательностей справедливо:

1) если последовательность сходится к пределуА, то и ее подпоследовательность сходится к пределуА;

2) если все подпоследовательности некоторой последовательности сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пределу и к нему же сходится исходная последовательность.

Теорема.Предел суммы (разности), произведения и частного равен сумме (разности), произведению и частному пределов, т. е., если , то:

, гдес– постоянная;

10. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Последовательность {аn} называетсяограниченной сверху (снизу), если существует числоМ(m) такое, что для любогоn an≤M(an≥m). ЧислоМ(m) называется верхней (нижней) границей последовательности {an}.

Последовательность {аn} называетсяограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Теорема.Последовательность {аn} ограничена тогда и только тогда, когда существует числоr >0 такое, что |an| <rдля всехn.

Теорема.Свойства ограниченности последовательности сверху, снизу и с двух сторон не нарушатся при отбрасывании (добавлении) конечного числа членов последовательности.

Теорема.Сумма двух ограниченных последовательностей есть ограниченная последовательность.

Последовательность {аn} называетсябесконечно малой, если для любого положительногоεсуществует такой номерN, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |an| <ε.

Последовательность {аn} называетсябесконечно большой, если для любого положительногоРсуществует такой номерN, что, начиная с него, для всех членов последовательности справедливо |an|< Р.

Предел бесконечно большой последовательности приn> ∞ равен ∞.

Бесконечно большая последовательность не ограничена и, следовательно, расходится.

Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей.Для того чтобы последовательность {аn} была бесконечно большой, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {bn}bn= 1 /аnбыла бесконечно малой.

Теорема.Если {аn} – бесконечно большая последовательность, а {bn} – сходящаяся последовательность, не являющаяся бесконечно малой, то их произведение есть бесконечно большая последовательность.

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1) предел бесконечно малой последовательности равен нулю: ;

2) стационарная последовательностьс, с, …,с, … является бесконечно малой тогда, когдас= 0;

3) свойство последовательности быть бесконечно малой не нарушится, если отбросить (прибавить) конечное число членов;

4) пусть {bn} – бесконечно малая последовательность и для всех n справедливоаn≤bn, тогда последовательность {аn} тоже является бесконечно малой;

Закладка:

5) бесконечно малая последовательность ограниченна;

6) сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность;

7) пусть {аn} – бесконечно малая последовательность, {bn} – ограниченная последовательность, тогда их произведение есть бесконечно малая последовательность;

8) пусть {аn} – бесконечно малая последовательность, ас– любое действительное число, тогда последовательность {саn} тоже бесконечно мала;

9) произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

11. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Предел последовательности

Последовательность {аn} называетсясходящейся, если существует такое вещественное числоА, что последовательность {аn – А} является бесконечно малой. ЧислоАбудетпределом последовательности: .

Сходящуюся последовательность можно представить в виде {an} = {A + γn}, где {γn} – бесконечно малая последовательность.

Бесконечно малые последовательности являются сходящимися с пределом, равным нулю, бесконечно большие –расходящимися(сходящимися к бесконечности).

Точка бесконечной прямой называетсяпредельной точкой последовательности, если в любой ееε–окрестности содержится бесконечно много элементов данной последовательности.

Лемма.Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1) всякая сходящаяся последовательность имеет один предел;

2) сходящаяся последовательность {an} ограниченна;

3) пусть последовательности {an} и {bn} сходятся и , тогда сходятся и последовательности {cxn} (c= const) {an±bn} {an×bn} {an / bn} (в случае частногоB≠ 0,bn≠ 0,n= 1, 2, …). И их пределы вычисляются по общим правилам.

Теорема сравнения (предельный переход в неравенствах).Пусть заданы последовательности {an}, {bn}. Тогда если последовательности {an}, {bn} таковы, чтоan≤ (≥)bn, то (данное утверждение неверно для строгих неравенств).

Теорема (принцип двустороннего ограничения).Пусть заданы последовательности {an}, {bn}, {cn}. Тогда еслиan≤bn≤cnи последовательности {an} и {cn} сходятся к одному и тому же пределуВ, то последовательность {bn} тоже сходится к тому же пределу: .

Следствия:

1) если все члены сходящейся последовательности {an} не отрицательны (не положительны), то предел последовательности есть число неотрицательное (неположительное), ;

2) если все элементы сходящейся последовательности {an} находятся на отрезке [a, b], то и предел этой последовательности {an} лежит на данном отрезке, ;

3) если все члены сходящейся последовательности {an}an≤ (і) В, то , гдеВ– некоторое число.

Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности.Всякая неубывающая (невозрастающая) последовательность {an}, ограниченная сверху (снизу) сходится. Иначе для того чтобы монотонная последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченна.

12. Ряд. Сумма ряда. Сходимость ряда. Арифметические действия над рядами. Ряды с положительными членами

Числовым рядомназывается выражениеai=а1 +а2 +…+аn+…, гдеai(i= 1, 2…,n…) – вещественные или комплексные числа.

Частичной суммой ряда(n–ой частичной суммой) называется числоSn=а1 +а2 +…+аn=ai.

Из частичных сумм можно образовать последовательностьS1 =a1,S2 =a1 +a2,S3 =a1 +a2 +a3 и т. д. Если существует предел последовательности частичных сумм ряда, то ряд называетсясходящимся, а сам предел называетсясуммой ряда, обозначается . Если такового предела не существует, то ряд называется расходящимся.

Теорема.На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. Если ряд сходится, то егоn–ый член стремится к нулю при неограниченном возрастанииn, т. е. . Пусть даны два рядаanиbn. Тогда в результате сложения этих двух рядов получится ряд (an+bn), при умножении получается ряд , произведением рядаanна числосбудет рядcan(с– вещественное или комплексное число).

Теорема.Пусть даны два ряда, имеющие соответствующие суммыan=S1 иbn=S2. Тогда справедливо: (an+bn) =S1 +S2, ,can=cS1 (гдес– число).

Теорема (принцип сравнения).Пусть даны два ряда с положительными членамиanиbn. Если рядanсходится иai≥bi(i= 1, 2…,n), то и рядbnbnсходится, причемan≥bn.

Теорема.Если члены рядаaiне меньше соответствующих членов расходящегося рядаbn, то и рядanрасходится.

13. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Функциональные ряды

Знакопеременный ряд– это ряд с произвольными вещественными числами.

Знакопеременный ряд называетсяабсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Знакопеременный ряд называетсяусловно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Теорема.Всякий абсолютно сходящийся знакопеременный ряд есть ряд сходящийся.

Теорема.Если знакопеременный ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.

Теорема.Если знакопеременный ряд сходится условно, то какое бы ни задали числоА, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма в точности оказалась бы равнойА. Кроме этого, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что после перестановки ряд окажется расходящимся.

Ряд с вещественными членами называетсязнакочередующимся, если два любых его соседних члена имеют разные знаки. Его иногда записывают следующим образом: (–1)n+1an(ai> 0).

Теорема (признак сходимости Лейбница).Если члены знакочередующегося рядаanудовлетворяют условиям |an| > |an+1 | (n= 1, 2…) и , то ряд сходится. При этом еслиan= S, то .

Закладка:

Рядun(x) называетсяфункциональным, если его члены являются функциями действительной переменнойх.

Областью сходимостифункционального ряда называется совокупность тех значенийх, при которых функциональный ряд сходится. Если функциональный ряд сходится прих = х0, тох0 называетсяточкой сходимости. Если ряд сходится в каждой точке некоторого множества, то говорят, что рядсходится на этом множестве.

Функциональный ряд называетсяравномерно сходящимся на множествеМк функцииS(x), если для всякого положительногоεнайдется такое числоN, что для всехn>Nи для всехх, принадлежащих множествуМ, справедливо неравенство:

Теорема.Если члены рядаun(x) – непрерывные функции и ряд на множествеМсходится равномерно, то иS(x) =un(x) является непрерывной функцией.

14. Степенные ряды. Тригонометрический ряд. Ряды Фурье

Степенным рядомназывается функциональный ряд видаа0 +а1(х – х0) +а2(х – х0)2 +…+аn(x – x0)n+… =ak(x – x0)k. Числаai(i= 0, 1, 2…) называютсякоэффициентами ряда. ЧислоRназываетсярадиусом сходимости.

Свойства степенных рядов.

Теорема 1.Если степенной рядak(x – x0)kимеет радиус сходимостиR, то в любом круге комплексной плоскости (или на любом отрезке вещественной оси) вида |x – x0| <r, r<Rон равномерно сходится.

Теорема 2.Если для степенного рядаak(x – x0)kсуществует предел , то он равен радиусу сходимости данного ряда, т. е.L = R.

Следствие.

1. На множестве {x| |x – x0| <r},r<Rсумма степенного ряда является непрерывной функцией.

Конец ознакомительного фрагмента.

Спасибо за чтение

Вернуться к книге