Современные математические задачи.

Глава 1 Задача на знание структуры.

Дано: государство А знает структуру силовых ведомств государства В. При помощи этого произвести: а) госпереворот, б) теракт, в) иные противоправные действия.

Силовые ведомства обозначить как F1, F2, Fn. Также решить обратные задачи государства В по предотвращению госпереворота, теракта и иных противоправных действий. Это задача на знание структуры чего-либо и использовании её.

Можно использовать спецлитературу по принятию решений: Дорогов В.Г., Теплова Я.О. Введение в методы и алгоритмы принятия решений.

Ф.А. Новиков Дискретная математика.

Пишите свои соображения в комментариях.

Глава 2 Подводная лодка и эсминцы.

Дано: вход в гавань охраняется 3 эсминцами по 4 квадратам. Надо проникнуть подводной лодке в гавань по одному из неохраняемых квадратов. Дежурство эсминцев случайно либо по определенному графику. Также решить обратную задачу о недопущении прорыва подводной лодкой охраняемой территорией. Эта задача на встречаемость и на вероятность.

Конечно бывалый моряк-подводник скажет "У кого совершеннее технические средства обнаружения тот и победит". Но эта задачка более учебная, так примем во внимание, что подлодка после неудачного прорыва может отойти беспрепятственно назад, на исходные позиции.

Решение этой задачи состоит в нахождении вероятности кораблей противника в том или ином квадрате. Ну а первый шаг (когда все клетки патрулируемые равновероятны, - в них равновероятно могут находится корабли противника) доверим жребию. Подкинем четыре кубика. Закрепим каждый кубик за отдельным квадратом. По минимальному значению, после взбрасывания, находим искомый квадрат "прорыва"(если выпало два одинаковых малых значения, то продолжаем подбрасывать кубики оставшиеся до тех пор пока не выпадет меньшее значение).

Итак мы определили квадрат "прорыва" - если там средствами техническим обнаруживается противник, то отходим, если нет - то осуществляем прорыв в охраняемую бухту и топим незащищенные корабли.

Допустим в квадрате "предсказанному" жребием оказывается противолодочный корабль, тогда отходим на исходный рубеж и с учетом того что квадрат "занят" продолжаем поиск дырки.

Можно поступить и так - подбрасывать всегла четыре кубика в исходном месте и уже оттуда выходить, несмотря на статистику появления "занятых" квадратов. То есть мы имеем 2 стратегии, - одна с учетом статистики появления противолодочных кораблей, вторая чисто случайная. Какую выбрать? Какой стратегии придерживается командир группы противолодочный кораблей?

Глава 3 Вагон поезда и попутчики.

Дано: пассажирский вагон стандартного образца следующем в составе поезда номер_____. Задача: а) найти разведчика супротивных сил среди пассажиров вагона, б) дезинформировать его. Эта задача на обнаружение супротивных сил.

Условие задачи предполагает что вы - православный христьянин, человек воцерковленный. Человек воцерковленный это означает, что вы знаете основы православного вероучения, часто исповедуетесь и регулярно причащаетесь Святых Христовых Таин. Ко всему прочему вам надо знать отличие других вероисповеданий от православного учения в соответсвии с православным катехизисом.

Знать отличие медитации от молитвы христианской. Так медитаторов можно отличить, найти в толпе по натянутому лицу, некоторому отпечатку духовности на лице. Отсюда и последующая работа - найти разведчика супротивной (нехристианской) стороны в ограниченном пространстве поезда. Необязательно это могут быть сотрудники спецслужб иностранного государства, это может быть обычный криминал. Разведывание само по себе истекает из страсти ... человеку такого типа надо знать углубленно, что происходит вокруг. Конечно встречаются и профессиональные разведчики, прикрытые документами, легендами, - речь о них пойдет позже. Сейчас речь пойдет о криминале обычном.

Вот к примеру лицо курящего человека легко сравнительно отличить от некурящего, также пьющего от непьющего... Со временем (с опытом христианской жизнм) можно видеть страсти человека на его лице, манере поведенмя, речи. Если вы увидели такую страсть (блуд, гордость и прочее) на лице человека, то не спешите его осуждать, по словам святителя Феофана Затворника надо внутренне произнести "Господи, не дай мне возникнуть такой же страсти у меня." В этом отличие оперативной работы христьянина от работы языческих структур, например таких как МВД, где служат в основном погонам, структуре, а не Богу. Служение Богу на первом месте должно быть, а не служение погонам, структуре. Сегодня законы общества такие-то, а завтра другие, еще более разнузданные. История знает и оборотней в погонах, и банды сотрудников МВД, и обычную коррупцию. Конечно это отдельная тема для разговора.

Автор данной работы, работая церковным сторожем, легко находил в толпе и криминал, и сотрудников МВД, других силовых структур, а также медиаторов по духовному, ярко выраженному отпечатку на лице. Та атмосфера христианской жизни (иконы, например, можно сравнить лицо исследуемого человека со Спасом Нерукотворным, спесь, пронырство видны более всего и сразу, также строгость лица выдает человека "уполномоченного") накладывает отпечаток на внутренний мир человека (исскустный воин легко найдет различие в церковном пении и рока , например, также эмпатийно проникая в сокровенный внутренний мир исследуемого человека можно выявить и его страстность, принадлежность к тому или иному классу, вероисповеданию, степени враждебности и прочее).

Задача решается рекуррентно+знание Иисусовой молитвы.

Глава 4 Метод анализа иерархий (теория).

Метод анализа иерархий (МАИ) — математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений.

МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к её решению.

Этот метод разработан американским математиком Томасом Л. Саати, который написал о нём книги, разработал программные продукты и в течение 20 лет проводил симпозиумы ISAHP (англ. International Symposium on Analytic Hierarchy Process). МАИ широко используется на практике и активно развивается учёными всего мира. В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения. Метод анализа иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе, промышленности, здравоохранении и образовании.

Для компьютерной поддержки МАИ существуют программные продукты, разработанные различными компаниями.

Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение.

Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки[1]. Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне.

Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ. На заключительном этапе анализа выполняется синтез (линейная свёртка) приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.

Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией

Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией

В данной задаче необходимо выбрать из трех кандидатов одного на должность руководителя (см. рисунок). Кандидаты оцениваются по критериям: возраст, опыт, образование и личные качества. На рисунке показана иерархия для этой задачи. Простейшая иерархия содержит три уровня: цель, критерии и альтернативы. Числа на рисунке показывают приоритеты элементов иерархии с точки зрения цели, которые вычисляются в МАИ на основе парных сравнений элементов каждого уровня относительно связанных с ними элементами вышерасположенного уровня. Приоритеты альтернатив относительно цели (глобальные приоритеты) вычисляются на заключительном этапе метода путём линейной свёртки локальных приоритетов всех элементов. В данном примере лучшим кандидатом является Дик, так как имеет максимальное значение глобального приоритета

Сфера образования и научных исследований

Хотя для практического применения МАИ отсутствует необходимость специальной подготовки, основы метода преподают во многих учебных заведениях[2][3]. Кроме того, этот метод широко применяется в сфере управления качеством и читается в рамках многих специализированных программ, таких как Six Sigma, Lean Six Sigma, и QFD[4][5][6].

Около ста китайских университетов предлагают курсы по основам МАИ, и многие соискатели научных степеней выбирают МАИ в качестве объекта научных и диссертационных исследований. Опубликовано более 900 научных статей по данной тематике. Существует китайский научный журнал, специализирующийся в области МАИ[7].

Раз в два года проводится Международный симпозиум, посвященный МАИ (International Symposium on Analytic Hierarchy Process, ISAHP), на котором встречаются как ученые, так и практики, работающие с МАИ. В 2007 году симпозиум проходил в Вальпараисо, Чили, где было представлено более 90 докладов ученых из 19 стран, включая США, Германию, Японию, Чили, Малайзию, и Непал[8].

Устройство для удаленного ввода и обработки оценок

Методика применения МАИ

Метод анализа иерархий содержит процедуру синтеза приоритетов, вычисляемых на основе субъективных суждений экспертов. Число суждений может измеряться дюжинами или даже сотнями. Математические вычисления для задач небольшой размерности можно выполнить вручную или с помощью калькулятора, однако гораздо удобнее использовать программное обеспечение (ПО) для ввода и обработки суждений. Самый простой способ компьютерной поддержки — электронные таблицы, самое развитое ПО предусматривает применение специальных устройств для ввода суждений участниками процесса коллективного выбора.

Порядок применения МАИ:

Построение качественной модели проблемы в виде иерархии, включающей цель, альтернативные варианты достижения цели и критерии для оценки качества альтернатив;

Определение приоритетов всех элементов иерархии с использованием метода парных сравнений;

Синтез глобальных приоритетов альтернатив путём линейной свёртки приоритетов элементов на иерархии;

Проверка суждений на согласованность;

Принятие решения на основе полученных результатов[9].

Рассмотрим эти шаги подробнее.

Моделирование проблемы в виде иерархии

Первый шаг МАИ — построение иерархической структуры, объединяющей цель выбора, критерии, альтернативы и другие факторы, влияющие на выбор решения. Построение такой структуры помогает проанализировать все аспекты проблемы и глубже вникнуть в суть задачи.[9]

Определение иерархической структуры

Простейшая иерархия МАИ. Чтобы избежать беспорядка в диаграммах МАИ, связи, соединяющие альтернативы и их покрывающие критерии, часто опускаются, или их количество искусственно уменьшается. Несмотря на такие упрощения в диаграмме, в самой иерархии каждая альтернатива связана с каждым из покрывающих её критериев.

Иерархическая структура — это графическое представление проблемы в виде перевёрнутого дерева, где каждый элемент, за исключением самого верхнего, зависит от одного или более выше расположенных элементов. Часто в различных организациях распределение полномочий, руководство и эффективные коммуникации между сотрудниками организованы в иерархической форме.

Иерархические структуры используются для лучшего понимания сложной реальности: мы раскладываем исследуемую проблему на составные части; затем разбиваем на составные части получившиеся элементы и т.д. На каждом шаге важно фокусировать внимание на понимании текущего элемента, временно абстрагируясь от всех прочих компонентов. При проведении подобного анализа приходит понимание всей сложности и многогранности исследуемого предмета.

В качестве примера можно привести иерархическую структуру, которая используется при обучении в медицинских вузах. В рамках изучения анатомии отдельно рассматривается костно-мышечная система (которая включает такие элементы, как руки и их составляющие: мышцы и кости), сердечно-сосудистая система (и её множественные уровни), нервная система (и её компоненты и подсистемы) и т.д. Степень детализации доходит до клеточного и молекулярного уровня. В конце изучения приходит понимание системы организма в целом, а также осознание того, какую роль в нем занимает каждая часть. С помощью подобного иерархического структурирования студенты приобретают всесторонние знания об анатомии.

Аналогичным образом, когда мы решаем сложную проблему, мы можем использовать иерархию как инструмент для обработки и восприятия больших объёмов информации. По мере проектирования этой структуры формируется всё более полное понимание проблемы[9].

Объяснение иерархических структур, используемых в МАИ

Иерархические структуры, используемые в МАИ, представляют собой инструмент для качественного моделирования сложных проблем. Вершиной иерархии является главная цель; элементы нижнего уровня представляют множество вариантов достижения цели (альтернатив); элементы промежуточных уровней соответствуют критериям или факторам, которые связывают цель с альтернативами.

Существуют специальные термины для описания иерархической структуры МАИ. Каждый уровень состоит из узлов. Элементы, исходящие из узла, принято называть его детьми (дочерними элементами). Элементы, из которых исходит узел, называются родительскими. Группы элементов, имеющие один и тот же родительский элемент, называются группами сравнения. Родительские элементы альтернатив, как правило, исходящие из различных групп сравнения, называются покрывающими критериями. Используя эти термины для описания представленной ниже диаграммы, можно сказать, что четыре критерия — это дети цели; в свою очередь, цель — это родительский элемент для любого из критериев. Каждая Альтернатива — это дочерний элемент, каждого из включающих её критериев. Всего на диаграмме присутствует две группы сравнения: группа, состоящая из четырех критериев и группа, включающая три Альтернативы.

Вид любой иерархии МАИ будет зависеть не только от объективного характера рассматриваемой проблемы, но и от знаний, суждений, системы ценностей, мнений, желаний и т.п. участников процесса. Опубликованные описания применений МАИ часто включают в себя различные схемы и объяснения представленных иерархий[10]. Последовательное выполнение всех шагов МАИ предусматривает возможность изменения структуры иерархии, с целью включения в неё вновь появившихся, или ранее не считавшихся важными, критериев и Альтернатив[9].

Расстановка приоритетов

Простейшая иерархическая структура МАИ с приоритетами, определенными по умолчанию

После построения иерархии участники процесса используют МАИ для определения приоритетов всех узлов структуры. Информация для расстановки приоритетов собирается со всех участников и математически обрабатывается. В данном разделе приведена информация, на простом примере поясняющая процесс вычисления приоритетов.

Определение приоритетов и пояснения

Приоритеты — это числа, которые связаны с узлами иерархии. Они представляют собой относительные веса элементов в каждой группе. Приоритеты — безразмерные величины, подобно вероятностям, которые могут принимать значения от нуля до единицы. Чем больше величина приоритета, тем более значимым является соответствующий ему элемент. Сумма приоритетов элементов, подчиненных одному элементу выше лежащего уровня иерархии, равна единице. Приоритет цели по определению равен 1.0. Рассмотрим простой пример, поясняющий методику вычисления приоритетов.

На рисунке показана иерархия, в которой приоритеты всех элементов не устанавливались ЛПР. В таком случае по умолчанию приоритеты элементов считаются одинаковыми, то есть все четыре критерия имеют равную важность с точки зрения цели, а приоритеты всех альтернатив равны по всем критериями. Другими словами, альтернативы в этом примере неразличимы. Заметим, что сумма приоритетов элементов любого уровня, равна единице. Если бы альтернатив было две, то их приоритеты были бы равны 0.500, если бы критериев было 5, то приоритет каждого был бы равен 0.200. В этом простом примере приоритеты альтернатив по разным критериям могут не совпадать, что обычно и бывает на практике.

Более сложная иерархическая структура, содержащая глобальные и локальные значения приоритетов по умолчанию

Приведем пример, в котором локальные приоритеты альтернатив по разным критериям не совпадают. Глобальные приоритеты альтернатив относительно цели вычисляются путём умножения локального приоритета каждой альтернативы на приоритет каждого критерия и суммирования по всем критериям.

Если приоритеты критериев изменятся, то изменятся значения глобальных приоритетов альтернатив, следовательно, может измениться их порядок. На рисунке показано решение данной задачи с изменившимися значениями приоритетов критериев, при этом наиболее предпочтительной альтернативой становится A3.

Глава 5 Еще немного о МАИ

Опыт использования методов математического моделирования и компьютеров в различных сферах целенаправленной человеческой деятельности привел к пониманию многих принципиальных трудностей, возникающих при их внедрении в реальную практику, сотканную из непрерывной череды актов принятия решений. Оказалось, что лицо, принимающее решение, при принятии решения учитывает огромное число разнообразных показателей, представить которые в виде единственного критерия удается только в редких случаях. Стало ясно, что методики естественных наук, успешно применявшиеся при моделировании технологического уровня социально-экономической системы, совершенно недостаточно для решения более сложных проблем, которые по сути своей многокритериальны. При поиске "наилучшего" плана или альтернативы существенное значение имеют факторы, не поддающиеся формализации (социальные, организационные, политические, психологические и т. п.). Поэтому руководитель (ЛПР), анализирующий решение, предложенное ему специалистом по математическому моделированию, и понимающий, что неформализуемые факторы могут оказать более сильное воздействие на результат, чем, например, оптимальное распределение ресурсов, склонен отнестись скептически к такому решению, не учитывающему ясные для ЛПР возможности повышения эффективности принимаемых решений. Если, кроме того, учесть, что ЛПР обычно имеет в голове (но не в модели!) огромное число ограничений, которые он не хотел бы нарушить, то станет ясно, почему он склонен принять собственное решение, отличное от полученного с помощью компьютера.

Один из способов практического преодоления перечисленных трудностей состоит во включении ЛПР в процесс построения моделей и принятия решений на их основе. Для этого предназначены человеко-машинные (имитационные) системы. Одним из классов таких систем являются системы поддержки принятия решений (СППР), в рамках которых опыт и неформализованные знания ЛПР сочетаются с математическим исследованием.

Метод анализа иерархий (МАИ)

СППР, основанная на методе анализа иерархий (МАИ), является простым и удобным средством, которое поможет структурировать проблему, построить набор альтернатив, выделить характеризующие их факторы, задать значимость этих факторов, оценить альтернативы по каждому из факторов, найти неточности и противоречия в суждениях ЛПР/эксперта, проранжировать альтернативы, провести анализ решения и обосновать полученные результаты.

СППР МАИ может использоваться при решении следующих типовых задач:

·оценка качества организационных, проектных и конструкторских решений;

·определение политики инвестиций в различных областях;

·задачи размещения (выбор места расположения вредных и опасных производств, пунктов обслуживания);

·распределение ресурсов;

·проведение анализа проблемы по методу "стоимость-эффективность";

·стратегическое планирование;

·проектирование и выбор оборудования, товаров;

·выбор профессии, места работы, подбор кадров.

Основные положения метода анализа иерархий были разработаны известным американским математиком Т.Л.Саати и опубликованы в 1977г. Томас Саати является одним из самых ярких представителей прикладной науки. Об этом говорят не только его математическая эрудиция и глубина новых теоретических результатов, но и диапазон приложений. Он был прав, предпослав к одной из своих монографий эпиграф: "Я люблю обе стороны математики: чистую - как возвышенный уход от реальности, прикладную - как страстное стремление к жизни".

МАИ используется для решения слабо структуризованных и неструктуризованных проблем. Методология решения таких проблем опирается на системный подход, при котором проблема рассматривается как результат взаимодействия и, более того, взаимозависимости множества разнородных объектов, а не просто как их изолированная и автономная

Глава 6 Задача китайского адмирала. Черновик.

Дано: дан китайский авианосец имеющий в своем охранении 1) подводные лодки 2 штуки; 2) 3 эсминца; 3)Баржу с топливом; 4) 1 рыболовный траулер; 5) 1 антиподводную лодку; 6) 1 водолазное ремонтное судно.

Задача: Как подойти максимально близко к вражеским островам, патрулируемым по 6 квадратам 1) 3 эсминца охранения; 2) 1 антиподводной лодкой; 3) 2 квадрата сложные по судовой обстановке - рифы; 4) провести рыбалку; 5) не попасть на сети рыболовные противника боевому охранению; 6) выйти на транспорт с горючим любым кораблем охранения.

Это черновая версия задачи. Задача решается методом анализа иерархий с помощью современного программного обеспечения.

Примечание: 1) пусть квадраты А1, А4 заняты рифамы. Район для судовождения сложный. Есть вероятность в 30 процентов получить повреждения.

2) предполагаемое нахождение вражеского рыболовного траулера квадрат А1. Встреча с ним гарантирует попадание в рыболовные сети любого корабля охранения, а также флагмана. Вероятность благоприятного исхода 50 на 50 процентов.

3)пусть предполагаемая вероятность нахождения анти подлодки противника в квадрате А3. Вероятность благоприятного исхода (встречи) с китайскими подлодками 50 на 50 процентов.

4) Пусть вражеские эсминцы не будут предположительно в квадратах А1, А3, А5.

5)Предположительно, с вероятностью 90 процентов транспорт врага в квадрате А5.

6)вероятность аварии внутрисудовой наибольшая в квадрате А1, примерно 60 на 40 процентов.

Для решение можно применить программное обеспечение, например СППР "Выбор".

Глава 7 Ответ на задачу о подлодках и эсминцах.

в стадии оформления...

Глава 19 Для читателей

Дорогие читатели, возможно не у всех есть возможность приобрести книгу "Введение в методы и алгоритмы принятия решений" под авторством Дорогова В.Г и Тепловой Я.О. вот выше опубликовал сканы этой книги. По данным материалам задача китайского адмирала решается. Всем удовольствия от познания еще неведомого!!!

Глава 20 Задача китайского адмирала чистовик.

Дано: дан китайский авианосец имеющий в своем охранении и обеспечении 1) подводные лодки 1 штуку; 2) 1 эсминец; 3)Баржу с топливом; 4) 1 рыболовный траулер; 5) 1 антиподводную лодку; 6) 1 водолазное ремонтное судно.

Цели: Как подойти максимально близко к вражеским островам, патрулируемым по 6 квадратам 1) 3 эсминца охранения; 2) 1 антиподводной лодкой; 3) 2 квадрата сложные по судовой обстановке - рифы; 4) провести рыбалку траулером; 5) не попасть на сети рыболовные противника боевому охранению; 6) выйти на транспорт с горючим любым кораблем охранения.

Это чистовая версия задачи. Задача решается методом анализа иерархий с помощью современного программного обеспечения.

Примечания:

1) Пусть вражеские эсминцы не будут предположительно в квадратах А1, А3, А5.

2) пусть предполагаемая вероятность нахождения анти подлодки противника в квадрате А3. Вероятность благоприятного исхода (встречи) с китайскими подлодками 50 на 50 процентов.

3) пусть квадраты А1, А4 заняты рифамы. Район для судовождения сложный. Есть вероятность в 30 процентов получить повреждения.

5) предполагаемое нахождение вражеского рыболовного траулера квадрат А1. Встреча с ним гарантирует попадание в рыболовные сети любого корабля охранения, а также флагмана. Вероятность благоприятного исхода 50 на 50 процентов.

6) Предположительно, с вероятностью 90 процентов транспорт врага в квадрате А5.

4) проведение рыбалки равновероятно, кроме квадратов А1, А4 – там рифы, зацепление за риф с вероятностью 50 на 50.

Корабли охранения авианосца занимают по площади 1 квадрат. Решить с помощью СПП «ВЫбор».