Хотел вам сообщить 2 или Просто про простые +

Глава 1

Побудительный мотив для написания данного текста, а так же длительное посыпание головы пеплом интересно будет далеко не всем читающим. Посему, все вышесказанное я помещу в последнюю главу «Извинение».

***

Поехали

Дык, оно, конечно, ничего сложного, и можно сказать просто.

Да печаль в том, что читать по диагонали сей опус бессмысленно.

Не поймете ничего, и бедного автора только обругаете.

Итак, сегодня пойдет речь о натуральных числах. Очевидно, что именно с этих чисел начиналась математика. Тысячи лет назад невообразимо далекий предок пересчитал свои пальцы, но это скорее шутка, счет возник, несомненно, от практической потребности, ну, не знаю, предку, наконец, потребовалось выяснить, сколько у него жен и детей, и как их прокормить, хотя… фантазируйте сами.

Но, ближе к простым.

Напомню, младшим школьникам, простыми числами считаются числа, не делящиеся ни на одно из известных нам. /здесь и далее термин «не делится» означает, что число не делится без остатка, что логично – ведь мы рассматриваем только натуральные числа/. Остальные числа /у которых есть делители/ называются составными.

Теперь пойдем по порядку:

Один – сложный вопрос, некоторые, как и я, считаю его простым, но большинство это отрицают – просто особенное число.

Два и три – очевидно простые. Просто нет чисел меньше их, то есть, некому их делить.

Пойдем дальше.

Четыре = 2*2 – первое составное. /Может поэтому японцы считают его несчастливым?/

Пять – простое – но, пока пропущу комментарии.

Шесть = 2*3 – очень не простое число.

Утомил? Давайте отвлечемся.

Четным числом называется число, делящееся на два – с этим все ясно. То есть, начиная с двух, четным будет каждое второе после любого четного.

А вот что с тройкой – согласитесь, делится на три каждое третье. В шутку я называю такое поведение «волновым свойством чисел». У двойки период волны 2 у тройки соответственно 3. И главное – внутри периода волны цельно численного деления данного числа не возможно.

Ну, как, в качестве отдыха, задурил я вам голову?

/крики из зала – «Все нормально», «Ясно все – легкотня!», «Давай дальше!» /

Мы рассмотрели диапазон от нуля до шести /хотя ноль – древний человек и не знал/.

Теперь смотрите: можно утверждать, что каждый диапазон кратный шести / 0 – 6; 6 – 12; 12 – 18; …… и так далее/ обладает одним свойством. Все числа, за исключением «соседних» с концами диапазонов – составные! /соседними – я назову числа на единицу больше или меньше данного числа/. Еще раз повторю /мать учения/ в середине таких диапазонов будут ТОЛЬКО составные, а точнее числа которые будут делиться на два или три.

А вот соседними могут быть как простые, так и составные числа.

Теперь вернемся к пятерке и иже с ним. Почему числа 5, 7, 11, 13, 17 …. а дальше сами. Так почему они простые. Элементарно, Ватсон – потому, что они соседние с числами кратными шести и значит, два и три их делить не могут, а больше – некому!

Ну, смотрите, первое простое число, которое можно использовать после 2 и 3 будет 5. НО, 5*2=10; 5*3=15; 5*4 и так ясно, что все эти числа попадают в середину «шестикратного диапазона».

И только 5*5 – завершает победное шествие простых в соседях.

Интересный случай. До двадцати пяти чисел вроде, не так уж мало, но для соседей делителей не находится!

Отвлечение

Человеки так устроены, что ленятся произносить и писать много буквенные и много словные термины. Я уже ввел, без разрешения соответствующих органов, термины «соседи», и «волновые свойства», вольно использую термин «деление» и вдобавок хочу использовать слово /какое бы слово придумать?/ «метка» - для обозначения примечательных чисел кратных шести. /Как вы термин назовете…/ Возможно имя термина я и сменю.

Глава 2. Совершенно не обязательная глава

Оставлена, только для демонстрации путешествия моей мысли.

Возвращаясь к нашей теме.

Давайте посмотрим, насколько плотно заселяют простые числа, ближайшие окрестности.

Для большей объективности оценки, будем рассматривать отдельно множество чисел до метки и после оной.

Итак, в диапазоне от 5 до5 999 987 нашлось 206 502 простых чисел. /прочему такой странный диапазон…. ну, так получилось/

Среди них измерены расстояния между последующими простыми.

Например, между 5 и 11 будет 6, как и между 383 и 389. И таких разниц будет 37 789.

А если взять 71 и 83 то разница будет 12. И таких пар можно насчитать 32 167.

Допустим нас, интересует разница 18. Спешу вас обрадовать, их будет 27 054.

Максимальное расстояние между числами 5521721 и 5522039 в этом диапазоне будет 318 и оно нашлось только одно.

Как вы догадываетесь, расстояния были и 24 и 30 и 36 и … например 204 нашлось 8 штук.

Не хочу занимать место распечаткой, но, выглядит оная довольно равномерно.

Если посмотреть такую же статистику после метки то будет так:

В диапазоне от 7 до 5 999 941 оказалось 206 345 простых.

Совсем рядом в шести шагах находятся 37 630 простых.

А в двенадцати – 32 076.

Соответственно в восемнадцати – 26 938.

И максимальное расстояние оказалось 282 между простыми 3975721 и 3976003.

Все-таки, говоря чистую правду, можно ввести слушателя в заблуждение.

В приведенной статистике, просматриваются две «дыры» в множестве простых чисел, но это не совсем так. Если вы сравните диапазоны «дыр», то они не совпадают, а значит, они успешно заполняются соответственно большим или меньшим соседом. Но! Дыра все же есть, и она составляет диапазон в 154 числа и находится она между 4652353 и 4652507. Давайте прикинем, 154 разделить на 6 это примерно 25 меток имеют в обоих соседях составные числа.

Хороша равномерность.

И все-таки.

Обозревая листинг можно увидеть, что никакой закономерности не просматривается, и распределение расстояний довольно стабильно.

Ну, хорошо. Выложу кусочек листинга.

7

13 -> 6

19 -> 6

31 -> 12

37 -> 6

43 -> 6

61 -> 18

67 -> 6

73 -> 6

79 -> 6

97 -> 18

103 -> 6

…….

5999569 -> 6

5999593 -> 24

5999599 -> 6

5999629 -> 30

5999677 -> 48

5999731 -> 54

5999737 -> 6

5999743 -> 6

5999767 -> 24

5999779 -> 12

5999863 -> 84

5999869 -> 6

5999881 -> 12

5999911 -> 30

5999923 -> 12

5999947 -> 24

Несомненно, диапазон от 0 до шести миллионов не так уж и велик. Утверждать, что тенденция равномерности сохранится… опрометчиво, но посмотрим на ситуацию с другой стороны.

Глава 3. Давайте изучим составных соседей

Первое мы уже упоминали – это двадцать пять.. Рассмотрим еще составных соседей порожденных простым числом 5:

5; 25; 35; 55; 65; 85; 95; … Мысленно проверьте, и обнаружите рядом с каждым этим числом «метку» кратную шести. /насчет проверки, достаточно четности и проверки делимость на 3 – а это делимость на 3 суммы чисел {96 -> 9+6=15 - делится}/

Здесь хорошо видно, что расстояния между этими числами, чередуются: 20; 10; 20; 10… и т.д.

Теперь, как образуется эта последовательность:

5; 5*5; 5*7; 5*11; 5*13; 5*17; 5*19; 5*23;

Может показаться, что сомножителями пятерки являются простые числа… но дальше:

5*25; 5*29; 5*31; 5*35 и т.д.

Значит, составные соседние числа на основе пятерки получаются умножением ее на последовательность соседних чисел! Не правда ли получается, что-то вроде рекурсии?

А посмотрим теперь на счастливое число семь:

7 * 5 = 35 ; 7 * 7 = 49 ; 7 * 11 = 77 ; 7 * 13 = 91 ; 7 * 17 = 119 ; 7 * 19 = 133 ;

7 * 23 = 161 ; 7 * 25 = 175 ; 7 * 29 = 203 ; 7 * 31 = 217 ; 7 * 35 = 245 ; 7 * 37 = 259 ;

Как видите, с помощью семерки образуются составные соседние числа по тем же правилам: умножением семерки на последовательность соседних чисел.

Разница между членами последовательности, так же периодична на этот раз это 28; 14; 28; 14…

Указанные особенности образования составных соседей подтверждаются и для любых других простых чисел.

Отсюда вывод: создание составных соседей подчиняется совершенно жестким правилам. А значит, случайностей в образовании таких соседей просто не может быть.

И конечно, появление в соседях простых чисел не случайно, просто мы не знаем эту формулу (а, кто-то знает и просто не хочет нам говорить?).

Да, в сети можно найти некое количество эмпирических формул, но по этому поводу, не ко мне.

Такие вот дела.

Уточнение от 12.03.26.

Откуда берется удвоение и учетверение? Элементарно … . Рассмотрим разницу между соседними числами: 7-5= 2; 11 - 7 = 4; 13 – 11 = 2; 17- 13 = 4, надеюсь все очевидно, и данное свойство не потеряется и в бесконечности.

А в сумме 2+4 все то же волшебное 6!

Некстати о терминологии, слово «соседи» возможно не удачно, есть мнение что надо использовать латынь, а что! выглядит солидно.

Из словаря:

vicini, vicinis - соседи

сосед - vicinus,proximum

Конец уточнения.

Да, по вопросу о стабильности распределения простых чисел по одноименной оси. Тут такое рассуждение.

Чем дальше тем больше простых чисел – то есть возможностей образовать составные соседи, но чем больше такое простое число, тем дальше в просторах упомянутой оси появится первое применение данного простого / если простое 5999947 то первое составное из оного будет 5999947 * 5значит ближайшие 29 999 733 чисел не ощутят никакого влияния от заданного/. Не находите ли, что-то знакомое, - ужесточение числа простых чисел нивелируется не действенностью их применения.

Не находите? Это очень весело!

W_Cat.

Глава 4. Число простых

Есть очень старая задача: подсчитать число простых чисел в заданном диапазоне.

Так как подсчет в диапазоне от 1000 до 2000 можно свести к разности подсчетов ( от 0 до 2000) – (от 0 до 1000), то диапазон я всегда буду рассматривать «от нуля».

Как говорят у нас в колхозе*

Элементарно.

Как уже сказано, простые (большие 3) могут появляться только в соседях чисел кратных шестерке.

1. А таких соседей = диапазон делим на шесть и умножаем на два!

2. Достаточно вычислить из полученного число составных соседей и разница с общим количеством соседей даст число простых чисел в заданном диапазоне.

Логично?

Раскрываем пункт два.

Большинство из составных соседей будут составлять числа, делящиеся на пять. И подсчитать их количество в том же диапазоне, не очень трудно (см. выше главу «Давайте изучим составных соседей»).

Точно так же можно подсчитать и составные делящиеся на семь, одиннадцать, тринадцать и т.д.

НО!

Нюанс. В число составных делящихся на семь, входят числа, делящиеся на пять. Их надо бы исключить из подсчета.

Сюрприз!

Рассмотрим число 35. Ясно, что это 5 * 7. Теперь смотрите на фокус.

35 * 5 = 175; 175 – 35 = 140

35*7 = 245; 245 – 175 = 70

35*11 = 385; 385 – 245 = 140

Нужно ли продолжать? Ясно, что указанное свойство (2-4) сохраняется для любых чисел.

Значит нужно посчитать число соседей делящихся на 35 и вычесть из предыдущего расчета.

После подсчета числа соседей делящихся на 11 из их числа надо вычесть число соседей делящихся на 55 и 77. Введу еще один временных термин «число вычитаемых рядов». Как видите для одиннадцати их два. Для тринадцати их, соответственно, будет три, и так далее, и т.д.

Вроде как получается знакопеременная сумма рядов.

***

На первый взгляд, может показаться существование забавной ситуации. Для подсчета числа простых чисел в заданном диапазоне требуется знать все эти простые. А для чего тогда их считать?

Не совсем так.

Дело в том, что составные в несчастном диапазоне, составляются из ограниченного числа простых чисел.

Допустим, задан диапазон от 0 до 100.

То есть произведение составляющих составное не должно превышать 100. Какие же это числа?

Эл……

Разделим, 100 на 5 получится 20. Ближайшее простое меньше двадцати – 19.

Проверим: 19 * 5 = 95; 19*7 = 133. /17*5=85; 17*7=119/ Следовательно в этом диапазоне составные образуются простыми от 5 до 19.

А значит, в нашем подсчете нам потребуется учитывать ряды делящиеся на простые числа от 5 до 19. На самом деле меньше, как видите, 17 и 19 умноженные на 5 входят в диапазон да далее нет. Но они же уже подсчитаны в ряду «делящиеся на пять». То же относится к 11 и 13, но еще они еще подсчитаны и в ряду «делящиеся на семь».

Что же уже меньше работы.

Итого!

Для подсчета составных соседей в диапазоне от 0 до 100:

Нужно подсчитать «составных соседей делящихся на 5» + «… делящихся на 7» и вычесть из полученного «делящихся на 35».

Такие вот дела.

Ой, чуть не забыл. Надо прибавить еще 2. /это про простые 2 и 3/.

Да, с увеличением диапазона, вычислений становится больше, но для современных супер – пупер вычислителей это не проблема. /до известных границ/.

***

Все. На сегодня мои рученьки устали. Продолжение последует.

12.03.26.

W_cat.

Примечания

Как говорят у нас в колхозе – В семьдесят каком-то году сдавал экзамен по математике в МИРЭА. Преподаватель применила интересный способ. Если компетенция студента ей была не ясна, она оставляла его около своего стола и вызывала следующего. Так произошло и со мной, ответил по билету.

- Посиди. Следующий.

У сокурсника возникли непонятки. Помнится, речь шла о двойном интеграле. Тут препод. обратилась ко мне.

- Объясни, товарищу. Следующий.

Свою речь я начал так «Как говорят у нас в колхозе, двойной интеграл можно применить…»

Тут меня прервали.

- Что? Как у вас говорят в колхозе. Слушаю.