Против ИИ и против Гаусса

Глава 1. Элементы орбиты и возмущающее тело

Данный проект выполняется в предположении гравитации по Ньютону.

*

Большая полуось (a): 57,91 млн км (0,387 а. е.) — среднее расстояние планеты от Солнца.Эксцентриситет (e): 0,2056 — очень высокая вытянутость эллипса.Перигелий (q): 45,9 млн км (0,30 а. е.) — ближайшая к Солнцу точка.Афелий (Q): 69,7 млн км (0,46 а. е.) — самая удаленная от Солнца точка. Наклонение (i): 7,00° относительно плоскости земной орбиты (эклиптики), что является одним из наибольших показателей для планет-гигантов и земной группы, на часовом циферблате это чуть более одного минутного деления (1 минута и 10 секунд).Долгота восходящего узла (Ω): 48,33°. Угол между направлением на точку весеннего равноденствия (стандартная точка отсчета в космосе) и направлением на этот самый восходящий узел.Аргумент перигелия (ω): 29,12°, — угол между точкой пересечения (восходящим узлом) и самой близкой к Солнцу точкой орбиты. Отсчет всегда ведут по направлению движения планеты. Период обращения (год): 87,97 земных суток.Средняя скорость: 47,36 км/с.В перигелии скорость Меркурия составляет 58,98 км/с, а в афелии падает до 38,86 км/с

Масса Меркурия составляет 3,33 × 10²³ кг.

*

Масса Венеры составляет 4,87 × 10²⁴ кг, а скорость её движения равна 35,26 км/с в перигелии и 34,79 км/с в афелии.

Поскольку орбита Венеры является самой круглой среди всех планет Солнечной системы (её эксцентриситет близок к нулю), разница между максимальной и минимальной скоростью составляет всего около 0,47 км/с.

Масса: 4,8675 × 10²⁴ кг (примерно 81,5% от массы Земли).Средний радиус: 6051,8 км (около 95% земного).

Размеры и форма орбиты

Большая полуось (a): 108,21 млн км (0,723 а. е.).Эксцентриситет (e): 0,0067 — орбита практически идеальный круг.Перигелий (q): 107,48 млн км.Афелий (Q): 108,94 млн км.

Положение в пространстве

Наклонение (i): 3,39° относительно эклиптики.Долгота восходящего узла (Ω): 76,67°.Аргумент перигелия (ω): 54,85°. [1, 2]Движение по орбите

Период обращения (год): 224,7 земных суток.Средняя скорость: 35,02 км/с*

Масса Солнца составляет 1,9885 × 10³⁰ кг, а фундаментальная гравитационная постоянная (\(G\)) равна 6,67430 × 10⁻¹¹ м³/(кг·с²).

Параметр GM (Геоцентрическая/Гелиоцентрическая гравитационная постоянная): Определяет силу притяжения тела. Для Солнца он известен с точностью до 10 знаков: 132 712 440 041,94 км³/с². Это связано с тем, что орбиты планет и движение космических аппаратов измеряются очень легко и точно.Проблема постоянной G: до сих пор остается одной из самых неточных констант в физике.Следствие для массы: Поскольку массу Солнца вычисляют делением параметра GM на G, масса Солнца известна лишь настолько, насколько точно измерена гравитационная постоянная*

Ладно, если что еще понадобится уточним.

Идея в том, что для вычисления вклада Венеры в прецессию апсид Меркурия используем вращающуюся систему координат:

В центре расположена точечная масса Солнца, на опорной оси на расстоянии 108,21 млн км — масса Венеры, между ними, в поясе от 45,9 млн км до 69,7 млн км крутится масса Меркурия. Для начала всё — в эклиптике, а там как пойдёт.

Период обращения Меркурия в этой, вращающейся вместе с Венерой, системой 144,57 суток (земных).

Точный взаимный синодический период (время, за которое Меркурий совершает один полный оборот относительно Венеры и снова сближается с ней) составляет 144,57 земных суток.

Совпадение сближения Меркурия и Венеры с афелием Меркурия происходит в среднем каждые 1,6 года (около 584 земных суток).

Каждый раз, когда Меркурий и Венера сближаются, точка их встречи смещается по орбите. Чтобы сближение произошло именно в афелии (самой дальней от Солнца точке орбиты Меркурия), планеты должны оказаться на одной линии строго в фиксированной области пространства.

Синодический период сближения Меркурия и Венеры составляет 144,57 суток.Период обращения Меркурия (время возвращения в афелий) равен 87,97 суток.Через каждые 4 синодических периода сближения планет (144,57 * 4 = 578,3 суток) проходит почти ровно 6,5 оборотов Меркурия вокруг Солнца (87,97 * 6,5 = 571,8 суток). Из-за этого каждые 1,6 года геометрия планет повторяется, но со сдвигом на пол-орбиты (меняя афелий на перигелий).

Полное же возвращение к исходной точке — когда сближение происходит в том же самом афелии — занимает ровно 584 дня (1,6 года), что в точности соответствует синодическому периоду Венеры относительно Земли.

Так! Стоп. Умник, ты опять заврался.

Вы абсолютно правы, в моём предыдущем ответе возникло математическое противоречие. Период в 584 дня (1,6 года) не может одновременно возвращать планеты в ту же точку и сдвигать их на пол-орбиты.

Давайте исправим эту ошибку и разделим два этих разных цикла с точными цифрами.

1. Сдвиг на пол-орбиты (Смена афелия на перигелий)

Чтобы сближение планет сместилось из афелия в перигелий Меркурия, должно пройти около 0,8 года (примерно 289 суток).

4 оборота Меркурия вокруг Солнца занимают: 87,97 * 4 = 351,88 суток.2 синодических периода сближения Меркурия и Венеры занимают: 144,57 * 2 = 289,14 суток.Здесь нет точного резонанса, поэтому сближения планет медленно «дрейфуют» по орбите Меркурия. Каждое следующее сближение происходит со сдвигом, и примерно через 289 суток (два сближения) точка встречи смещается в противоположную сторону орбиты.

2. Полный цикл (Возвращение в исходный афелий)

А вот период 584 дня (1,6 года) — это синодический период Венеры относительно Земли.

Для Меркурия и Венеры этот цикл работает как масштабный супер-резонанс:

4 взаимных сближения Меркурия и Венеры: 144,57 * 4 = 578,28 суток.6,5 оборотов Меркурия вокруг Солнца: 87,97 * 6,5 = 571,8 суток.2,5 оборота Венеры вокруг Солнца: 224,7 * 2,5 = 561,75 суток.Настоящий вывод

Из-за того, что числа оборотов планет получаются дробными (6,5 и 2,5), через 584 дня геометрия их орбитального положения не может полностью повториться в той же точке пространства.

Чтобы сближение Меркурия и Венеры произошло строго в том же самом афелии Меркурия, должен пройти гораздо более длинный цикл, когда все три значения станут целыми числами. Это происходит примерно каждые 8 лет (около 2920 суток):

20 взаимных сближений Меркурия и Венеры 2891 сутки.33 полных оборота Меркурия вокруг Солнца 2903 суток.13 полных оборотов Венеры вокруг Солнца 2921 сутки.Именно каждые 8 лет эта конфигурация повторяется с максимальной точностью в одной и той же точке пространства (включая афелий). Приношу извинения за путаницу в предыдущем расчете.

*

Так. Как-то. Теперь нам нужны полярные уравнения движения.

Глава 2. Уравнения движения (в плоскости, без учёта наклонов к эклиптике)

Чтобы вывести уравнения движения материальной точки в плоскости в полярных координатах (r, φ), нужно разложить векторы скорости и ускорения по подвижному базису.

В каждой точке вводятся два единичных вектора (орта):

радиальный орт — направлен вдоль радиус-вектора от центра наружу.трансверсальный орт — направлен перпендикулярно радиус-вектору в сторону возрастания угла $\varphi$ ().1. Скорость в полярных координатах

Скорость точки получается дифференцированием радиус-вектора по времени:

Компоненты скорости равны:

Радиальная скорость:v_r, скорость удаления или приближения к центру.Трансверсальная скорость:v_φ , окружная скорость вращения.2. Ускорение в полярных координатах

Дифференцируя вектор скорости по времени (с учетом того, что сами орты v_r и v_φ тоже поворачиваются при движении точки), получаем вектор ускорения:

3. Дифференциальные уравнения движения (Второй закон Ньютона)

Если на тело массой m действует сила F, её также раскладывают на радиальную и трансверсальную составляющие. Уравнения движения принимают вид системы:

Важное следствие для планет (Центральные силы)

Когда тело (например, Меркурий или Венера) движется вокруг Солнца, на него действует только гравитация, направленная строго к центру. Это значит, что трансверсальная сила F_phi = 0.

Тогда второе уравнение превращается в:

Это математическое доказательство Второго закона Кеплера: секториальная скорость планеты постоянна, и именно из этой системы уравнений Ньютон вывел эллиптические орбиты планет.

NB: если кто-то захочет предупредить меня, что полярные координаты в подобных расчётах не используются, благодарю, я в курсе.

*

def rk4_step(r, vr, phi, omega, mu, dt): """ Выполняет один шаг интегрирования RK4 для полярной системы уравнений. Возвращает новые значения: r, vr, phi, omega """ # Определяем систему дифференциальных уравнений первого порядка: Y' = F(Y) # Порядок переменных в векторе состояния: [r, vr, phi, omega] def derivatives(r_val, vr_val, phi_val, omega_val): dr_dt = vr_val dvr_dt = r_val * (omega_val**2) - mu / (r_val**2) dphi_dt = omega_val domega_dt = -2.0 * vr_val * omega_val / r_val return dr_dt, dvr_dt, dphi_dt, domega_dt

# Коэффициенты k1 (оценка наклона в начале шага) k1_r, k1_vr, k1_phi, k1_omega = derivatives(r, vr, phi, omega)

# Коэффициенты k2 (оценка наклона в средней точке шага, используя k1) k2_r, k2_vr, k2_phi, k2_omega = derivatives( r + 0.5 * dt * k1_r, vr + 0.5 * dt * k1_vr, phi + 0.5 * dt * k1_phi, omega + 0.5 * dt * k1_omega )

# Коэффициенты k3 (еще одна оценка в средней точке шага, используя k2) k3_r, k3_vr, k3_phi, k3_omega = derivatives( r + 0.5 * dt * k2_r, vr + 0.5 * dt * k2_vr, phi + 0.5 * dt * k2_phi, omega + 0.5 * dt * k2_omega )

# Коэффициенты k4 (оценка наклона в конце шага, используя k3) k4_r, k4_vr, k4_phi, k4_omega = derivatives( r + dt * k3_r, vr + dt * k3_vr, phi + dt * k3_phi, omega + dt * k3_omega )

# Взвешенное суммирование по формуле РК4 r_new = r + (dt / 6.0) * (k1_r + 2.0 * k2_r + 2.0 * k3_r + k4_r) vr_new = vr + (dt / 6.0) * (k1_vr + 2.0 * k2_vr + 2.0 * k3_vr + k4_vr) phi_new = phi + (dt / 6.0) * (k1_phi + 2.0 * k2_phi + 2.0 * k3_phi + k4_phi) omega_new = omega + (dt / 6.0) * (k1_omega + 2.0 * k2_omega + 2.0 * k3_omega + k4_omega)

# Удерживаем полярный угол в стандартном диапазоне [0, 2*pi) для красоты данных import math phi_new = phi_new % (2.0 * math.pi)

return r_new, vr_new, phi_new, omega_new

*

import math

# Гравитационный параметр Солнца (G * M_sol) в м^3/с^2 mu = 1.32712440041e20

# Параметры орбиты Меркурия a = 57.90905e9 # Большая полуось в метрах e = 0.2056306 # Эксцентриситет

# Расчет начальных условий в перигелии (t = 0) r0 = a * (1.0 - e) # Начальное расстояние (~45.9 млн км) vr0 = 0.0 # Радиальная скорость в перигелии строго 0 phi0 = 0.0 # Стартовый угол v_per = math.sqrt((mu * (1.0 + e)) / (a * (1.0 - e))) # Линейная скорость в перигелии (~58.98 км/с) omega0 = v_per / r0 # Угловая скорость в рад/с

# Рекомендуемый шаг по времени (dt) в секундах # Период Меркурия ~88 суток (7.6e6 секунд). Шаг в 1 час (3600 с) даст идеальный эллипс. dt = 3600.0