Настоящее правильное решение одной задачи

Зачем это всё?

Казалось бы, можно просто написать блог или ткнуть пальцем в правильное решение. Но дело в том, что это не работает. Не работает по ряду причин.

Знание, которое нам принесли на блюдечке с голубой каёмочкой не представляет ценности. И это полбеды. Если у нас своё знание, свой опыт и своя убеждённость, отношение к лежащему на блюдечке знанию будет весьма скептическим. А вдруг там не знание, а заблуждение? Вдруг ого отравлено? Или просто стухло? И вот, перед нами предстаёт не полезная пища для ума, а нечто чуждое, хтоническое, тянущее к нашей стройной системе свои пупырчатые тентакли. Конечно, мы не примем этот дар, напротив, ополчимся против него.

И это даже не вина Крюгера, который с Даннингом, а не Фреди. Просто так устроен человек, так устроена его психика, которая найдя верное решение будет защищать нас от всего, что бросает тень на его верность. Поэтому в ряде случаев спорить бесполезно. Впрочем, кому вообще интересны эти споры? А вот вероятности, они интересны, как интересна и задача.

Есть шесть контейнеров в каждом из которых лежит по два пирожка. В двух контейнерах оба пирожка с яблоками. В трёх контейнерах один пирожок с яблоками, а второй с малиной. В одном контейнере оба пирожка с малиной. Наугад выбрали один из контейнеров. Один из пирожков в нём оказался с яблоками. Найти вероятность того, что и второй пирожок в нём с яблоками.

Но чтобы её решить, давайте вместе начнём с самого-самого начала. Я расскажу обо всём просто и понятно, но задорно. По крайней мере постараюсь, чтобы было интересно как тем, кто уверен, что он гуру теорвера, так и тем, кто в математике хлебушек.

Самое-самое начало

Всё началось с того, что за семь дней Бог сотворил мир... Да, на страницах этой книги на вас время от времени будут кидаться тупые шуточки, привыкайте.

Ну а если серьёзно, то всё довольно просто.

Что такое вероятность?

Это отношение благоприятных исходов ко всем возможным. Благоприятным, не в смысле выигрыша в лотерею, а в смысле те, при которых произойдёт какое либо событие из числа возможных. Какое именно - мы можем выбрать сами.

Например возьмём игральную кость (в смысле кубик с точечками). Бросая кубик, можно получить шесть различных исходов: выкинуть числа 1, 2, 3, 4, 5 или 6. То есть, всего возможных событий шесть. Какова вероятность выбросить 5? В контексте этого вопроса, благоприятное событие, когда выпадет 5, всего одно. Поэтому вероятность выкинуть 5 будет равна 1:6. Как, впрочем и любую другую цифру, так как эти события равновероятны.

Вернее наоборот. Чтобы наши простые вычисления работали, события должны быть равновероятны, ведь если у кубика одна из граней будет скошена или будет смещён центр тяжести, одни числа будут выпадать чаще чем другие, и наш метод перестанет работать.

Та же история будет и с монеткой. Бросая её можно получить 2 результата: орёл или решку. Всего возможных исходов два, вероятность каждого из них 1:2 или, иначе говоря, 50%.

Вероятность события не может быть меньше нуля, а если вероятность равно нулю это событие невозможно.

Вероятность события не может быть больше единицы, а если она равно единице, событие достоверно.

Этого уже достаточно чтобы решить задачку плана:

Есть пять ящиков, в двух из них пирожки с капустой, в одном пирожки с мясом, а в остальных и те и другие вперемешку. Какова вероятность, что в случайно выбранном ящике не будет пирожков с мясом?

Всё, что нам нужно, это понять, какие из возможных событий считать благоприятными. Для этого можно расписать все возможные события (благо их мало). Обозначим мясо буквой М, а капусту буквой К.

М

К

К

К+М

К+М

Дальше нам понадобится капелька логики. Только не безумной тролльской, а нормальной. Если забыли, где она включается - вспоминайте, сейчас самое время.

Нам нужны ящики, где нет М. То есть:

М

К

К

К+М

К+М

Вот эти два. 2:5, или 40%, всё просто, не так ли?

Вот только, как всегда, есть нюансы...

Больше событий богу вероятностей

Но что, если задача усложняется? Понятно, что бросая монетку вероятность получить орла 1:2, так же, как и решку. Впрочем, а точно ли понятно?

Давайте оговорим, что математика работает с моделями, а не реальными объектами. Кидая монетку, можно закинуть её чёрте куда, так что она встанет на ребре. Да, вероятность этого очень мала, но в реальной жизни она есть. И вообще, вы можете кинуть монетку 10 раз и получить 8 орлов и 2 решки. Поэтому надо понимать две вещи.

Первое, всякие погрешности, связанные с особенностью выполнения действия в реальном мире тут не учитываются. Да, наверняка где-то в мире есть человек, который так натренировался кидать монетку, что у него всё время будет выпадать одна и таже сторона. Однако, мы всё же исключаем человеческий фактор и передаём все исходы в руки Рандома, не китайского, а Абсолютного.

Второе, это закон больших чисел. Чем больше мы сделаем попыток на практике, тем ближе результат будет к теоретическому. Это установил опытным путём один итальянский математик ещё в XVI веке, наблюдая за тем, как мужики в трактире играют в кости. Вот так, пока одни на деньги играют, другие в это время открывают математические законы.

Но вернёмся к монеткам.

Какова вероятность три раза подряд выбросить решку?

Бросая монетку, разумеется, а не кубик.

Посчитаем количество всех исходов. Каждый бросок монетки может привести к двум событиям, поэтому с каждым броском число исходов увеличивается в два раза. 2*2*2 = 8. Все эти 8 исходов легко можно расписать.

Р - Р - Р

Р - Р - О

Р - О - Р

Р - О - О

О - Р - Р

О - Р - О

О - О - Р

О - О - О

Для условий задачи благоприятный исход всего один,

Р - Р - Р

Поэтому вероятность составит 1:8, или 12,5%

Это работает именно так, потому что в данном случае события связны. Причём не имеет разницы, последовательны они или параллельны. Мы можем одновременно бросить три разных монетки, а может три раза одну и ту же. Разницы нет, ведь комбинации будут те же.

И здесь над поджидает ловушка.

Ошибка блондинки из анекдота

Спрашивают блондинку: «Какова вероятность того, что, выйдя на улицу, вы встретите динозавра?».

Блондинка отвечает: «50 процентов».

— Это как?

— Ну, или я его встречу, или нет.

Но вообще не только девочки-блондинки, но и мальчики-брюнетки так делают. И эта ошибка, эта ловушка, этот major system error ждёт и нас, если мы не учтём все комбинации. Смотрите, возьмём теперь такую задачу.

Какова вероятность, что бросив монетку три раза, два раза выпадет решка и один раз орёл?

В чём тут подвох? В том, что очень легко можно решить, что возможных комбинаций всего 4.

3Р

2Р и 1О

2О и 1Р

3О

И это по своему верно, ведь исхода при бросании монетки три раза действительно может быть всего 4. Вот только они не равновероятны.

Чтобы в этом убедиться нужно рассмотреть все возможные комбинации

Р - Р - Р

Р - Р - О

Р - О - Р

Р - О - О

О - Р - Р

О - Р - О

О - О - Р

О - О - О

Комбинаций всего 8. Да, нам не важен порядок, и по сути некоторые комбинации как бы повторяются. Но именно поэтому их вероятность возрастает, и тут у нас уже получается 3:8, а не 1:4. Очень важно не потерять комбинации.

Если же посмотреть на повторяющиеся комбинации, то можно сделать вывод и о вероятности каждой из 4-х ситуаций, рассмотренный выше.

3Р (1:8)

2Р и 1О (3:8)

2О и 1Р (3:8)

3О (1:8)

Да, сумма вероятностей всех возможных событий должна быть равно на единице, но нелепо использовать это как проверку правильности решения. У блондинки с 50% тоже сумма шансов встретить и не встретить динозавра равна 1.

При этом, если события не связаны, то и их вероятности друг на друга влиять не будут. Например.

Два раза кинули монетку и оба раза выпал орёл, какова вероятность того, что и на третий раз выпадет орёл?

Так вот, вне зависимости от того, что там было в предыдущих бросках, вероятность конкретно этого будет 1:2.

Это важный момент, ведь когда мы ещё не кинули ни одной монетки, вероятность, что три раза выпадет орёл, была 1:8. Но как только первым броском выпал орёл, вероятность благоприятного исхода возросла до этого 1:4, а когда и вторая монетка упала орлом вверх, то вероятность стала 1:2.

Помните, после каждого вскрытого стула Остап Бендер говорил, что вероятность увеличивается? Именно так это и работает. Впрочем, Великому Комбинатору это не помогло.

По большому счёту, каждый раз мы отекаем часть возможных комбинаций. Изначально у нас было

Р - Р - Р

Р - Р - О

Р - О - Р

Р - О - О

О - Р - Р

О - Р - О

О - О - Р

О - О - О

Вероятность трёх орлов 1:8.

Как только стало достоверно, что первым броском выпал орёл, ситуация поменялась

Р - Р - Р

Р - Р - О

Р - О - Р

Р - О - О

О - Р - Р

О - Р - О

О - О - Р

О - О - О

Дальнейшие события уже дадут только исходы:

Р - Р

Р - О

О - Р

О - О

Как только и вторым броском выпадет орёл, мы отсечём ещё половину возможных исходов, и вероятность станет уже 1:2.

Р - Р - Р

Р - Р - О

Р - О - Р

Р - О - О

О - Р - Р

О - Р - О

О- О - Р

О - О - О

И всё сведётся к двум возможным исходам:

Р

О

Тут у нас уже 1:2. Я расписал всё это в виде списка, но точно также можно строить дерево вероятностей и отсекать ему ветки.

Всё то же самое можно посмотреть и на более сложном (из-за большего числа комбинаций) примере с кубиками.

Фортуны нет, есть только рандом

В математике фортуны нет. А вот жизни, внезапно, есть везучие и невезучие на фоне статистики люди. Но сейчас не о них.

Кидая два кубика, с какой вероятностью их сумма будет равно 12, и с какой 7?

Анаколуф это или нет? В данном случае не важно, мы же тут про вероятности, а не про культуру речи. Сколько всего комбинаций мы получим, кидая 2 кубика? На первом может выпасть любое число из 6, на втором тоже любое число из 6. 6*6 = 36.

1+1=2 - 2+1=3 - 3+1=4 - 4+1=5 - 5+1=6 - 6+1=7

1+2=3 - 2+2=4 - 3+2=5 - 4+2=6 - 5+2=7 - 6+2=8

1+3=4 - 2+3=5 - 3+3=6 - 4+3=7 - 5+3=8 - 6+3=9

1+4=5 - 2+4=6 - 3+4=7 - 4+4=8 - 5+4=9 - 6+4=10

1+5=6 - 2+5=7 - 3+5=8 - 4+5=9 - 5+5=10 - 6+5=11

1+6=7 - 2+6=8 - 3+6=9 - 4+6=10 - 5+6=11 - 6+6=12

Таким образом, мы видим, что вероятность получить 12 будет 1:36, тогда как для результата 7 вероятность составит уже 6:36 (1:6), то есть в 6 раз больше.

Можете попробовать бросать кубики, и вы убедитесь, что чаще всего сумма будет равна 7, реже 6 и 8, ещё реже 5 и 9 и так далее. Вообразите себя средневековым математиком, налейте себе тёмного пива, разверните кулёк с сушёной рыбой, и вперёд!

Ну или если вы продвинутый юзер, а не нубяра, как я, можете вместо бросания кубиков потыкать в генератор случайных чисел.

Но вообще, конечно, тут можно справедливо задаться вопросом, как расписывать все возможные исходы, если у нас будет 5 бросков кубика, то есть 6*6*6*6*6 = 7776 возможных исходов. Но, с одной стороны, нам и не нужно выписывать все, достаточно выделить только благоприятные, а с другой, конечно же, если мы хотим заниматься комбинаторикой по-взрослому, а не на уровне 5 класса детского сада, то для всех больших расчётов есть формулы.

Я не привожу их в этой книге специально. Во-первых, не уверен, что вы хотите знать, что такое факториал (не иначе что-то от слова "фак"), а во-вторых, если пользоваться формулами без понимания, то можно такого насчитать, что бля мяу, в смысле ой.

Да и вообще, мы тут одну простую, но затейливую задачу хотим разобрать, а не к экзамену по теорверу подготовиться.

И пока что всё было довольно просто, но это потому, что мы работали с событиями, которые равновероятны. А это бывает так далеко не всегда. И тогда возможны разные интересные ситуации...

Вероятности так не работают

Давайте посмотрим вот на такую ситуацию.

В мешке лежат 5 шаров, 4 из них белые, а один красный. Из мешка достали 3 шара, какова вероятность, что среди них окажется красный?

Тут нас ждёт сразу уйма интересных нюансов.

Первое, на что я хочу обратить внимание, нет разницы, доставали мы шары по одному или сразу вытряхнули три.

Дальше нам, как и прежде, важно не потерять возможные исходы. Первым могли взять любой из 5 шаров, далее любой из оставшихся 4, и наконец один из 3. По этой логике, возможных комбинаций всего будет 5*4*3 = 60.

Сколько же среди них благоприятных исходов?

Давайте посмотрим, какие тут возможны комбинации.

2Б 1К

3Б

Мы уже понимаем, что это результаты не равновероятны, а значит вероятность не будет равна 1:2. Смотрим более подробные расклады.

Б Б Б

К Б Б

Б К Б

Б Б К

Теперь может показаться, что вероятность вытащить красный шар 1:4, но это не так, ведь мы же уже сказали, что всего возможных комбинаций 60. В чём же тут подвох?

На самом деле, хоть белые шары все и одинаковы, но это не один и тот же белый шар, а четыре разных белых шара, как бы бредово это не звучало. То есть та логика, которой мы руководствовались с монетками теперь не работает. Потому что у нас не просто К и Б. У нас теперь К и Б1, Б2, Б3 и Б4.

И из них можно составить следующие комбинации

Б1 Б2 Б3 - Б2 Б1 Б3 - Б3 Б1 Б2 - Б4 Б1 Б2 - К Б1 Б2

Б1 Б2 Б4 - Б2 Б1 Б4 - Б3 Б1 Б4 - Б4 Б1 Б3 - К Б1 Б3

Б1 Б2 К - Б2 Б1 К - Б3 Б1 К - Б4 Б1 К - К Б1 Б4

Б1 Б3 Б2 - Б2 Б3 Б1 - Б3 Б2 Б1 - Б4 Б2 Б1 - К Б2 Б1

Б1 Б3 Б4 - Б2 Б3 Б4 - Б3 Б2 Б4 - Б4 Б2 Б3 - К Б2 Б3

Б1 Б3 К - Б2 Б3 К - Б3 Б2 К - Б4 Б2 К - К Б2 Б4

Б1 Б4 Б2 - Б2 Б4 Б1 - Б3 Б4 Б1 - Б4 Б3 Б1 - К Б3 Б1

Б1 Б4 Б3 - Б2 Б4 Б3 - Б3 Б4 Б2 - Б4 Б3 Б2 - К Б3 Б2

Б1 Б4 К - Б2 Б4 К - Б3 Б4 К - Б4 Б3 К - К Б3 Б4

Б1 К Б2 - Б2 К Б1 - Б3 К Б1- Б4 К Б1 - К Б4 Б1

Б1 К Б3 - Б2 К Б3 - Б3 К Б2 - Б4 К Б2 - К Б4 Б2

Б1 К Б4 - Б2 К Б4 - Б3 К Б4 - Б4 К Б3 - К Б4 Б3

Таким образом у нас получается 36 подходящих комбинаций. То есть вероятность составляет 36:60 (6:10) или 60%. Не 50 и не 75.

Можно ли было решить эту задачу проще, без составления безумных таблиц с перечислением всех 60 возможных комбинаций? Конечно. Причём даже без всяких формул.

Смотрите, ведь комбинации, где у нас только 3 белых шара очень легко посчитать.

Ещё разок, первым мог быть любой шар из 5, вторым любой из 4, а третьим любой из 3. 5*4*3 = 60.

Чтобы все три шара оказались белыми, первым должен был быть любой из 4 белых, вторым любой из оставшихся 3, и последним один из 2. 4*3*2 = 24. Следовательно остальные 36 комбинаций включают красный шар. И да, мы только что решили задачу по формуле, даже не зная о её существовании.

Можно пойти ещё одним путём и посмотреть на задачу с другой стороны. Если мы достанем красный шар среди трёх, в мешке останутся два белых. Значит вероятность этих событий одинакова, точнее, это и есть одно и тоже событие.

Найти вероятность того, что оба оставшихся шара белые гораздо проще. Ведь тогда всего комбинаций для двух шаров из пяти уже 5*4=20, а для белых 4*3 =12. 12:20 (6:10) это всё ещё 60%, но вычисления проще и пи желании рассмотреть все возможные комбинации легче, ведь их в три раза меньше.

Б1 Б2 - Б2 Б1 - Б3 Б1 - Б4 Б1 - К Б1

Б1 Б3 - Б2 Б3 - Б3 Б2 - Б4 Б2 - К Б2

Б1 Б4 - Б2 Б4 - Б3 Б4 - Б4 Б3 - К Б3

Б1 К - Б2 К - Б3 К - Б4 К - К Б4

И конечно же, с каждым вытащенным белым шаром вероятность вытащить красный будет меняться.

Смотрите, допустим, первым был белый шар. Им мог быть абсолютно любой из пяти шаров, но как только мы его вытащили, условия задачи меняются. Как только мы достали из мешка белый шар, задача превращается в:

В мешке лежат 4 шара, 3 из них белые, а один красный. Из мешка достали 2 шара, какова вероятность, что среди них окажется красный?

То есть, теперь комбинаций будет меньше, исчезнут все, в которых был Б4. Тут можно задаться вопросом, почему именно 4 шар, ведь достать могли любой? Опять таки, потому что условия поменялись. Теперь у нас новая ситуация, в ней 3 белых шара, и мы нумеруем их по новому. Шары ведь одинаковые, и наша нумерация условная, она всего лишь подчёркивает, что у нас 4 (или уже 3) одинаковых белых шара, а не один и тот же белый шар, взятый 4 раза.

Так что комбинаций теперь будет всего 4*3 =12, а благоприятных исходов 12 - 3*2 = 6. Да, вероятность вытащить красный шар теперь 50%.

Б1 Б2- Б2 Б1 - Б3 Б1 - К Б1

Б1 Б3 - Б2 Б3 - Б3 Б2 - К Б2

Б1 К - Б2 К - Б3 К - К Б3

Но почему вероятность уменьшилась, если недавно мы говорили о том, что она увеличивается?

Потому что мы проебали попытку. Да, вероятность вытащить красный шар именно с третьей попытки возросла, ведь не вытащили его с первой, но при этом мы потратили попытку.

С каждым найденным стулом вероятность, что именно в нём окажутся сокровища возрастали, от 1:12 до 1:2, но при этом, в целом шанс, что в одном из 11 стульев будут сокровища был 11:12, а стал 1:2. Потому что есть очень большая разница между вероятностью отдельно взятого события и вероятности цепочки событий. При этом вероятность отдельно взятого события может расти, но вероятность цепочки уменьшатся. Потраченные попытки никогда не приблизят нас к успеху.

В этом большая разница между тем, хотим ли мы вытащить один красный шар с трёх попыток, или хотим вытащить 3 белых шара с одной. Ведь в последнем случае, вытащенный первым белый шар будет элементом благоприятного исхода, а следовательно, увеличит его вероятность. А в том случае, который мы рассмотрели в задаче, вытащенный первым белый шар является элементом неблагоприятных исходов, поэтому шансы исхода благоприятного понижаются. И это логично, ведь чем больше вероятность вытащить 3 белых шара, тем меньше вероятность вытащить красный.

Кстати, в ситуации с возвращением вытащенного шара в мешок ситуация принципиально не изменится. Просто теперь шары будут повторяться, и мы получим уже не 60, а 5*5*5 =125 возможных комбинаций, и из них 125 - 4*4*4 = 61 будут благоприятными. Вероятность будет уже 61:125 (48,8%), то есть ощутимо уменьшится, что логично, поскольку возвращение белого шара в мешок точно не способствует вытаскиванию красного.

Вы там живы ещё? Давайте сделаем небольшое лирическое отступление, что ли, но тоже важное.

Помните, по теории невероятности, нас всюду ожидают неприятности

Что за теория невероятности Кар-Карыч умалчивает. Ну и ладно. Знаете, что самое главное в решении задачи?

Правильно понять её условия. Видите, сколько нюансов, есть ли повторения, или нет, связны ли события, равновероятны ли они, и так далее. Главная особенность задач в том, что как правило они сводятся именно к математике. Иными словами, как мы уже говорили в начале, они исключают всякую ерунду вроде: "не сказано, что мы не можем заглянуть в мешок, значит по любому первым достанем красный шар, он красивенький". Не нужно додумывать условия, в них уже есть всё, что нужно.

Второе, что нам понадобится, это здравый смысл. Здравый смысл, это такая штука, которая осторожно шепнёт вам на ушко: "псс, чувак, слушай, а тебе не кажется, что сейчас ты как та блондинка из анекдота? У тебя нигде комбинации не потрачены?" Потому что как бы то ни было, мы все сталкивались с вероятностями играя в карты или кости или ещё что-то такого плана, где решает рандом.

Собственно, мы с вами уже вплотную подошли к пирожкам и правильному решению. Однако, осталось ещё раз убедиться в истинности тех методов, которые мы использовали для решения задачи с шариками и рассмотреть последний фокус. Когда мешок с шарами не один, а их несколько.